Power of Matrix

prologue

因为格式问题被卡了一小时的人是谁我不说。

analysis

首先这个题目如果我们暴力计算的话，时间复杂度是不允许的（矩阵乘法前面有巨大的常数）。

那么我们就考虑怎么用一些巧妙地方法去计算。我们就可以采取两次分治地思想，递归求解。

以下结论显然成立，读者自证不难：

$$A^1+A^2+\cdots +A^k=A^1+\cdots +A^{mid}+A^{mid}\ast (A^1+\cdots +A^{mid})$$

这个就是我们能够递归求解的本质。我们就可以将原来的 $A_k$ 转换成一个可以递归求解的式子，具体如下：

1. 若 $k=1$，则直接返回当前矩阵。
2. 若 $k\ne 1$，则可以继续递归计算，得出一小段和的值，然后再进行快速幂运算算出来$\sum _{i=1}^{(k>>1)<<1}{A}^i$，这里并不是直接到 $k$ 是因为我们对于奇数来说要进行特殊判断。（这里的位运算写的很抽象我知道 /fad）
3. 若 $k$ 为奇数，则我们应当再加上一个 $A^k$。

接下来就是我们的代码实现了，但是还有一个要注意的：

每一行的最后没有空格！！！，每一个测试数据之后都要输出换行！！！！

code time

**#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define rl register ll
#define foa(i, a, b) for(rl i=a; i < b; ++ i)
#define fos(i, a, b) for(rl i=a; i <= b; ++ i)
#define fop(i, a, b) for(rl i=a; i >= b; -- i)
#define ws putchar(' ')
#define wl putchar('\n')

template <class T> inline void waw(T x)
{
    if(x > 9) waw(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}

template <class T> inline void ww(T x)
{
    if(x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');
    waw(x);
}

template <class T> inline void read(T &res)
{
    char ch = getchar(); bool f = 0; res = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) f |= ch == '-';
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 1) + (res << 3) + (ch ^ 48);
    res = f ? ~res + 1 : res;
}

const ll N = 45;

ll n, m;

struct Matrix
{
    ll a[N][N];

    Matrix () { memset(a, 0, sizeof a); }

    inline void init() {memset(a, 0, sizeof a); }

    Matrix operator +(const Matrix &x) const
    {
        Matrix res;
        foa(i, 0, n) foa(j, 0, n) 
            res.a[i][j] = (a[i][j] + x.a[i][j]) % 10;
        return res;
    }
 
    Matrix operator *(const Matrix &x) const
    {
        Matrix res;
        foa(i, 0, n) foa(k, 0, n) foa(j, 0, n) 
            res.a[i][j] = (res.a[i][j] + (a[i][k] * x.a[k][j]) % 10) % 10;

        return res;
    }
} a;

inline Matrix qmi(Matrix t, ll k)
{
    Matrix res = t; -- k;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = res * t;
        t = t * t;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

inline Matrix calc(Matrix t,ll k)
{
    if(k == 1) {return t; } // border cases
    Matrix ans, tmp = calc(t, k >> 1);
    ans = tmp + (tmp * qmi(t, k >> 1));
    if(k & 1) ans = ans + qmi(t, k);
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld%lld", &n, &m) && n)
    {
        a.init();
        foa(i, 0, n) foa(j, 0, n) read(a.a[i][j]), a.a[i][j] %= 10;

        Matrix ans = calc(a, m);

        foa(i, 0, n) 
        {
            foa(j, 0, n)
            {
                waw(ans.a[i][j]); 
                if(j != n - 1) ws;
            }
            wl;
        }
            
        wl;
    }
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：carp
本文链接：https://www.cnblogs.com/carp-oier/p/17766570.html
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