二阶前缀和和二阶差分

马上就要csps 了还啥也不会，真就是酸菜鱼了。

定义

二阶差分就是在差分数组的基础上再做一次差分。

举个很板的栗子就是对一个序列进行一个等差数列式的一个减法，这个时候我们可以通过二阶差分，在 $O(1)$ 的复杂度进行修改，之后就是 $O(n)$ 的二维前缀和，就可以维护出来我们的一个序列了（至于比较灵活的应用还不会，等我会了upd，或者就是等我退役了直接再等 $\mathrm{\infty }$ 年更新）

例题

T1

三步必杀

这个题目就是我上面说的等差数列维护就好了，很板的一道题。（

这个题目可以推出来，我们在维护二维差分数组的时候，我们进行的单点 修改应该是这样的：

记 $c_1$ 为修改时候的等差数列的第一项，$d$ 为等差数列的公差，$c_m$ 为等差数列的 末项，$l$ 为等差数列修改的左边界，$r$ 为等差数列的右边界，$d$为我们的二维差分数组 。

我们修改的地方就应该为

$$d[l]\leftarrow d[l]+c_1$$

$$d[l+1]\leftarrow d[l+1]+d-c_1$$

$$d[r+1]\leftarrow d[r+1]-d-c_m$$

$$d[r+2]\leftarrow d[r+2]+e$$

T2

P1438

这个题目其实也是和上面的题目一样，但是我们需要考虑在修改的同时维护一个前缀和，不难想到用树状数组来进行维护（树状数组又好写，又常数小，谁不爱用呢 ）。由于我们对原数组进行了差分，所以我们求一个位置的时候应该是求这个位置的二阶前缀和，然后我们在修改的时候是进行四次单点修改（修改位置同上）。下面我们就要推式子然后看我们树状数组是要维护什么：

记 $d$ 为一阶差分序列，$d^{\prime }$ 为二阶差分序列。

$$\begin{array}{rl}{a}_i& =\sum _{j=1}^i{d}_i\\ & =\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^j{d}_k^{\prime }\\ & =\sum _{j=1}^i(i-j+1)d_j^{\prime }\\ & =(i+1)\sum _{j=1}^i{d}_j^{\prime }-\sum _{j=1}^{i}j\times d_j^{\prime }\end{array}$$

这个时候我们就知道我们需要通过树状数组维护两个东西：一个是 $d_i^{\prime }$的前缀和，另一个是 $j\times d_j^{\prime }$ 的一个前缀和。

啥时候才能不用学知识的菜鱼啊

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本文作者：carp
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