[Study] 算法时间复杂度计算方法复习

之前想开坑坚持实践陈皓的ARTS挑战, 奈何发现自己的学习水平和输出水平做不到每周写一篇ARTS文章. 不过我很喜欢ARTS的写作方向: Algorithm(算法), Review(评论), Tip(实践技巧), Share/Study(分享/学习); 这四方面相辅相成, 能够通过写作很好的锻炼各项能力. 所以, 就拆分一下吧, 1次写不了4个, 那1次写1个还是可以的.

定义

算法的时间复杂度使用渐进记号(\(\Theta\), \(O\), \(\Omega\), \(o\), \(\omega\))来描述, 它们的定义如下:

\[渐进紧确界: \Theta (g(n))=\{f(n): 存在常量c_1, c_2和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=c_1g(n)<=f(n)<=c_2g(n)\} \]

\[渐进上界: O(g(n))=\{f(n): 存在常量c和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=cg(n)<=f(n)\} \]

\[渐进下界: \Omega (g(n))=\{f(n): 存在常量c和n_0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=f(n)<=cg(n)\} \]

\[非渐进紧确上界: o(g(n))=\{f(n): 对任意常量c>0, 存在常量n_0>0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=f(n)<cg(n)\} \]

\[非渐进紧确下界: \omega(g(n))=\{f(n): 对任意常量c>0, 存在常量n_0>0, 使得对所有n>=n_0, 有0<=cg(n)<f(n)\} \]

这些渐进记号中平常常用的是前三种(\(\Theta\), \(O\), \(\Omega\)), 因为日常使用中我们最关心最坏情况下时间复杂度, 所以渐进上界\(O\)也是最为常用的记号. 对于这三种记号, 结合算法导论上的配图很好理解.

  1. \(O\)描述了最坏情况下的时间复杂度量级;
  2. \(\Omega\)描述了最好情况下的时间复杂度量级;
  3. \(\Theta\)是由\(O\)和\(\Omega\)组成的一个区间;

将渐进记号和实数之间的大小比较作类比, 也更好理解:

\[f(n) = O(n) 类似于 a <= b \]

\[f(n) = \Omega (n) 类似于 a >= b \]

\[f(n) = \Theta (n) 类似于 a = b \]

\[f(n) = o(n) 类似于 a < b \]

\[f(n) = \omega (n) 类似于 a > b \]

运算

渐进函数具有传递性, 自反性, 对称性和转置对称性. 举例来说:

\[传递性: f(n) = O(g(n)) 且 g(n) = O(h(n)) /Rightarrow f(n)=O(h(n)) \]

\[自反性: f(n)=O(f(n)) \]

\[转置对称性: f(n) = O(g(n)) 当且仅当 g(n) = \Omega (f(n)) \]

利用这些性质可以通过推导的方式得出算法的时间复杂度.

  • 以快速排序为例
# 提供一个最好理解的递归实现
def quiksort(l):
    if len(l) < 2:
        return l
    anchor = l[0]
    left = [i for i in l[1:] if i < anchor] #注意l[1:]
    right = [i for i in l[1:] if i >= anchor]
    return quiksort(left) + [anchor] + quiksort(right)

时间复杂度推导公式如下:

\[\begin{equation} \begin{split} T(n) &= O(n) + 2 * T(n/2) \\ &= O(n) + 2 * O(n/2) + 4 * T(n/4) \\ &= \sum_{i=1}^{lg(n)} O(n) \\ &= O(nlg(n)) \end{split} \end{equation} \]

posted @ 2020-05-24 22:50  changediff  阅读(260)  评论(0)  编辑  收藏  举报