游戏开发的数学基础
坐标系
2D：
数学：笛卡尔坐标系
计算机(屏幕坐标系)：以屏幕左上角(标准坐标系)或者屏幕左下角(Cocos2d)为原点
3D
左手系 unity
右手系
Y UP 3dmax
Z UP maya
向量
具有大小和方向，一般常用于表示势能、位移和速度。有时我们也用向量来表示一个单个方向，比如玩家在3D游戏中观察的方向、多边形面对的方向、光线的传播方向以及从一个物体表面折回的反射光方向。
A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
向量的数乘
n*(x,y,z) = (nx,ny,nz)
Unity下在cube下挂载下列程序，模拟x,y,z向移动
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
public class axis : MonoBehaviour {
public float speed = 0f;
public Vector3 dir = new Vector3(0, 0, 0);
// Use this for initialization
void Start () {
}
// Update is called once per frame
void Update () {
Vector3 pre = this.gameObject.transform.position;
Vector3 now = dir * speed + pre;
this.gameObject.transform.position = now;
}
}
自定义加减法和normalize，与Unity原身进行比较
新建Vector3d.cs，添加到component
using System.Collections;
using System;
using System.Collections.Generic;
public class Vector3d {
public float x, y, z;
public Vector3d(float x=0f,float y=0f,float z = 0f)
{
this.x = x;
this.y = y;
this.z = z;
}
public Vector3d(Vector3d vec)
{
this.x = vec.x;
this.y = vec.y;
this.z = vec.z;
}
public Vector3d add(Vector3d vec)
{
Vector3d ret = new Vector3d(x, y, z);
ret.x += vec.x;
ret.y += vec.y;
ret.z += vec.z;
return ret;
}
public Vector3d sub(Vector3d vec)
{
Vector3d ret = new Vector3d(x, y, z);
ret.x -= vec.x;
ret.y -= vec.y;
ret.z -= vec.z;
return ret;
}
public void normalize()
{
float length = (float)Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
x /= length;
y /= length;
z /= length;
}
public override string ToString()
{
return string.Format("("+x+","+y+","+z+")");
}
public static Vector3d operator +(Vector3d lv,Vector3d rv)
{
return lv.add(rv);
}
public static Vector3d operator -(Vector3d lv,Vector3d rv)
{
return lv.sub(rv);
}
}
比较程序如下：
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
public class axis : MonoBehaviour {
public bool isEqual(Vector3d ov,Vector3 uv)
{
if (ov.x == uv.x && ov.y == uv.y && ov.z == uv.z)
{
return true;
}
return false;
}
void Start () {
Vector3d ov1 = new Vector3d(1.1f, 1.2f, 1.3f) + new Vector3d(1, 2, 3);
Vector3 uv1 = new Vector3(1.1f, 1.2f,1.3f) + new Vector3(1, 2, 3);
if (isEqual(ov1, uv1))
{
Debug.Log("add equal ...");
}
Vector3d ov2 = new Vector3d(1.1f, 1.2f, 1.3f) - new Vector3d(1, 2, 3);
Vector3 uv2 = new Vector3(1.1f, 1.2f, 1.3f) - new Vector3(1, 2, 3);
if (isEqual(ov2, uv2))
{
Debug.Log("sub equal ...");
}
ov2.normalize();
uv2.Normalize();
if (isEqual(ov2, uv2))
{
Debug.Log("nrm equal ...");
}
}
}
叉积(cross product,满足左手法则，叉积不符合交换律，计算平面法线).定义：通过对u和v两个3d向量计算叉积，结果第三个向量w同时垂直于u和v
u = (x1,y1,z1),v = (x2,y2,z2)
u x v = (y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2)
代码如下：
public Vector3d cross(Vector3d vec)
{
Vector3d ret = new Vector3d();
ret.x = y * vec.z - z * vec.y;
ret.y = z * vec.x - x * vec.z;
ret.z = x * vec.y - y * vec.x;
return ret;
}
比较结果：
Vector3d ov3 = new Vector3d(1, 2, 3).cross(new Vector3d(-5, 7, 10));
Vector3 uv3 = Vector3.Cross(new Vector3(1, 2, 3), new Vector3(-5, 7, 10));
if (isEqual(ov3, uv3))
{
Debug.Log("cross equal ...");
}
点积(dot product).定义：标量
u = (x1,y1,z1),v = (x2,y2,z2)
u · v = x1*x2+y1*y2+z1*z2
余弦定理：
u · v = |u||v|cos(a)
a为u与v的夹角
u · v = 0,u与v相互垂直
u · v > 0,u与v夹角小于90
u · v < 0,u与v夹角大于90
模拟光照颜色
假如：u和v都是一个单位向量，
u · v = cos(a) => -1<=cos(a)<=1
用一个向量表示光照颜色。最后的平面的光照颜色=光照颜色*cos(a)
在Unity中新建一个小球，然后添加meterial，新建一个Shader，代码如下，模拟光照效果：
Shader "Custom/Color" {
Properties {
_Color ("Light Color", Color) = (1,1,1,1) // 白色
_Dir ("Light Dir", Vector) = (0,0,1,0)
_Intensity("Intensity",float) = 1.0
}
SubShader {
Tags { "RenderType"="Opaque" }
LOD 100
Pass {
CGPROGRAM
#pragma vertex vert
#pragma fragment frag
#include "UnityCG.cginc"
struct v2f {
float4 vertex: POSITION;
float3 normal: NORMAL;
};
fixed4 _Color;
fixed4 _Dir;
float _Intensity;
v2f vert(appdata_base v) {
v2f o;
o.vertex = mul(UNITY_MATRIX_MVP, v.vertex);
o.normal = v.normal;
return o;
}
// 光照算法
fixed4 frag(v2f i) : COLOR{
fixed3 dir = fixed3(-_Dir.x, -_Dir.y, -_Dir.z);
dir = normalize(dir);
fixed3 nrm = normalize(i.normal);
float bis = dot(dir, nrm);
if (bis <= 0) {
bis = 0;
}
fixed4 col = _Color * bis * _Intensity; //光照颜色
return col;
}
ENDCG
}
}
}
光照算法核心代码：
// 光照算法
fixed4 frag(v2f i) : COLOR{
fixed3 dir = fixed3(-_Dir.x, -_Dir.y, -_Dir.z);
dir = normalize(dir);
fixed3 nrm = normalize(i.normal);
float bis = dot(dir, nrm);
if (bis <= 0) {
bis = 0;
}
fixed4 col = _Color * bis * _Intensity; //光照颜色
return col;
}
效果如下：
矩阵
定义：一个m x n的矩阵M是一个m行n列的矩形实数数组。行和列指定了矩阵的维数。矩阵中数值称为元素。
我们使用行和列的双下标Mij来标识一个矩阵。i指定了元素所在行，j指定了元素所在的列。
矩阵相等：当且仅当两个矩阵的对应元素相等时，这两个矩阵相等；这两个矩阵必须具有相同的行数和列数，才能进行比较。
矩阵的加、减法
矩阵的数乘
矩阵的乘法:满足分配律和结合律
A(B+C)=AB+AC
(AB)C=A(BC)
a * b = (b的转置矩阵 * a的转置矩阵)的转置矩阵
代码检验：
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
public class axis : MonoBehaviour {
// Use this for initialization
void Start () {
Matrix4x4 a = new Matrix4x4();
for(int i = 0; i < 16; i++)
{
a[i] = Random.Range(1, 100.0f);
}
Matrix4x4 b = new Matrix4x4();
for (int i = 0; i < 16; i++)
{
b[i] = Random.Range(1, 100.0f);
}
Debug.Log(a * b);
// a * b = (b的转置矩阵 * a的转置矩阵)的转置矩阵
Matrix4x4 c = a.transpose;//转置矩阵
Matrix4x4 d = b.transpose;
Debug.Log((d * c).transpose);
}
// Update is called once per frame
void Update () {
}
}
矩阵变换
位移
Debug.Log(this.transform.localToWorldMatrix);
(x,y,z,0)用于描述向量
(x,y,z,1)用于描述点
原始单位大小，位于原点：
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000
在x轴-1单位，y轴2单位，z轴6单位：
1.00000 0.00000 0.00000 -1.00000
0.00000 1.00000 0.00000 2.00000
0.00000 0.00000 1.00000 6.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000
Debug.Log(this.transform.localToWorldMatrix.transpose); // 转置后对应坐标原点
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
-1.00000 2.00000 6.00000 1.00000
矩阵缩放（Unity3d使用的时OpenGL，所以进行了转置操作）
假设我们通过一个最小点(-4,-4,0)和一个最大点(4,4,0)定义一个正方形，我们希望将正方形沿着x轴缩小0.5倍，y轴放大2.0倍，z抽不变。那么对应的缩放矩阵为：
0.5 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
显示结果：
0.50000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 2.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
-1.00000 2.00000 6.00000 1.00000
旋转
x(1,0,0)旋转角度a，对应矩阵
1 0 0 0
0 cos(a) sin(a) 0
0 -sin(a) cos(a) 0
0 0 0 1
在x轴旋转30度：
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.86603 0.50000 0.00000
0.00000 -0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000
射线与平面相交
现在给定射线 p(t)= p0 + t*u
平面：n·(p-p1)=0
那么射线与平面的关系为：
t=(n·p1 - n·p0)/n·u
若t>=0,则射线与平面相交，且交点为p0+t*u
若t<0,则不相交
