子段和问题

Abstract

本文主要介绍各种序列子段和问题。

P1 最大子段和

传送门

Introduction

首先来看一道经典例题，求一段序列的最大子段和

Idea

考虑动态规划，令 dp[i] 表示在取第 i 个数的情况下，前 i 个数所能得到的最大子段和，那么显然有 dp[i] = max( dp[i-1] + a[i] , a[i]),其中 a[i] 表示序列的第 i 个数。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[300000];
int ans = -INT_MAX;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    memset(dp, -0x3f3f3f, sizeof dp);
    for (int i = 1; i < n + 1; i++)
    {
        int m;
        cin >> m; 
        dp[i] = max(dp[i - 1] + m, m);
        ans = max(ans, dp[i]); // 注意答案每次都要更新
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

P2 双子序列最大和

传送门

Introduction

再看一道升级版的，这次我们需要找出两个不重叠的子段，使他们的各自的子段和之和达到最大值。

Idea

一个显然的想法是，我们可以依次枚举序列中的每一项，然后分别找出这一项右侧和左侧的最大子段和，然后将他们相加即可。这样一来，问题就变得和 P1 极其相似了。

我们不妨以 l[i] 表示第 i 项左边的数可以得到的最大子段和，r[i] 表示第 i 项右边的数可以得到的最大子段和，答案就是 max( l[i] + r[i] ), i = 2,3...n-1。

下面考虑如何计算 l[i] 和 r[i] , 和 P1 类似的，我们可以写出以下转移方程 l[i] = max( l[i-1] + a[i-1], a[i-1]), r[i] = max ( r[i+1] + a[i+1] , a[i+1]),这样一来，我们就成功得到了选取第 i-1/i+1 个数时，第 i 个数左侧/右侧的数所能取得的最大子段和，然后，我们对 l，r 数组做以下处理：l[i] = max( l[i] , l[i-1] ),r[i] = max( r[i] , r[i+1] ),这样一来，就将 l,r 数组转变为我们需要的东西了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1100000;
int l[maxn];
int r[maxn];
int a[maxn];

signed main()
{
    int n;
    scanf("%lld", &n);
    memset(l, -0x3f3f3f3f, sizeof l);
    memset(r, -0x3f3f3f3f, sizeof r);
    l[1] = l[0] = 0;
    r[n] = r[n + 1] = 0;
    scanf("%lld ", &a[1]);
    for (int i = 2; i < n + 1; i++)
    {
        scanf("%lld", &a[i]);
        l[i] = max(l[i - 1] + a[i - 1], a[i - 1]);
    }

    for (int i = n - 1; i > 0; i--)
    {
        r[i] = max(r[i + 1] + a[i + 1], a[i + 1]);
    }

    for (int i = n - 1; i > 0; i--)
    {
        r[i - 1] = max(r[i - 1], r[i]);
    }

    for (int i = 2; i < n + 1; i++)
    {
        l[i + 1] = max(l[i + 1], l[i]);
    }

    int ans = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = 2; i < n; i++)
    {
        ans = max(l[i] + r[i], ans);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

P3 环状最大两段子段和

传送门

Introduction

这一题是 P2 的进阶版本，怎样在环形序列中找到子段和最大的两端不重叠序列呢？

Idea

实际上，可能的情况只有两种（0表示不选，@表示选）：

000@@@000@@@000
@@@000@@@000@@@

第一种情况和 P2 是完全一致的，第二种情况看似有些变化，但仔细一想，选出和最大的 @ 和选出和最小的 0 好像是等价的啊！那么我们只需要把序列中的数全部都取相反数，然后再重复 P2 的操作就可以了，此题得解。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[300000];
int dp_l[300000];
int dp_r[300000];
int sum;
bool ok;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i < n + 1; i++)
    {
        scanf("%d", a + i);
        if (a[i] > 0)
        {
            ok = 1;
        }
        sum += a[i];
    }
    // 如果全是负数的话，我们只需要把最大的两个负数之和输出就可以了
    // 我不知道为啥程序会在这地方出问题所以加了特判qwq
    if (!ok)
    {
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        cout << a[n] + a[n - 1] << endl;
        return 0;
    }

    // 阶段一
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_l[i] = max(dp_l[i - 1] + a[i], a[i]);
    }
    for (int j = n; j > 0; j--)
    {
        dp_r[j] = max(dp_r[j + 1] + a[j], a[j]);
    }
    // 阶段二
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_l[i] = max(dp_l[i], dp_l[i - 1]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_r[i] = max(dp_r[i], dp_r[i + 1]);
    }
    // 更新答案
    int ans1 = -INT_MAX;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        ans1 = max(ans1, dp_l[i - 1] + dp_r[i]);
    }

    // 全部取反
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] *= -1;
    }
    // 阶段一
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_l[i] = max(dp_l[i - 1] + a[i], a[i]);
    }
    for (int j = n; j > 0; j--)
    {
        dp_r[j] = max(dp_r[j + 1] + a[j], a[j]);
    }
    // 阶段二
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_l[i] = max(dp_l[i], dp_l[i - 1]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp_r[i] = max(dp_r[i], dp_r[i + 1]);
    }
    int ans2 = -INT_MAX;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        ans2 = max(ans2, dp_l[i - 1] + dp_r[i]);
    }
    // 把 ans2 变换为我们需要的东西
    ans2 *= -1;
    ans2 = sum - ans2;

    // 输出 ans1,ans2 中较大的
    cout << max(ans1, ans2);
    return 0;
}