CodeForces - 815C Karen and Supermarket

前置：树上背包

问题描述：给出一组物品，每个物品有体积v和价值w，其依赖关系形成一棵树，选择一个子节点就要选择其所有祖先节点。给定背包容量，求最大价值。

原始做法：设dp[i][j]为以物品i为子树根结点，在子树内选择j个物品的最大价值。转移：

　　dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-k]+dp[child][k]);

优化：树上背包的上下界优化

题意：给出一组商品，每件商品原价c[i]，有优惠券可降价d[i]元。优惠券之间有依赖关系，形成一棵树。现在你有b元，求最多买几件商品。

解：设dp[i][j][0/1]为以物品i为子树根结点，在子树内选择j个物品，且物品i用/不用优惠券最多买几个物品。转移方程比较显然，当前不用优惠券所有子节点肯定也不能用优惠券。但不选当前结点可以选子节点，所以转移枚举k的时候可以让j=k。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxx 5005
#define maxn 25
#define maxm 205
#define ll long long
#define inf 1000000009
#define mod 2520
struct edge{
    int u,v,w,next;
}e[maxx*2];
int head[maxx]={0},cnt=0;
void add(int u,int v){
    e[++cnt].u=u;e[cnt].v=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}

ll n,b;
ll c[maxx]={0},d[maxx]={0};
ll son[maxx]={0};
ll dp[maxx][maxx][2]={0};
void dfs1(int now){
    dp[now][0][0]=0;
    dp[now][1][0]=c[now];
    dp[now][1][1]=d[now];
    son[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=e[i].next){
        int to=e[i].v;
        dfs1(to);
        for(int j=min(n,son[now]+son[to]);j>=1;j--){
            for(int k=max(1ll,j-son[now]);k<=son[to]&&k<=j;k++){
                //dp[now][j]=max(dp[now][j],dp[now][j-k]+dp[to][k]);
                dp[now][j][0]=min(dp[now][j][0],dp[now][j-k][0]+dp[to][k][0]);
                dp[now][j][1]=min(dp[now][j][1],dp[now][j-k][1]+dp[to][k][0]);
                dp[now][j][1]=min(dp[now][j][1],dp[now][j-k][1]+dp[to][k][1]);
            }
        }
        son[now]+=son[to];
    }
}
signed main() {
    scanf("%lld%lld",&n,&b);
    scanf("%lld%lld",&c[1],&d[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        ll x;
        scanf("%lld%lld%lld",&c[i],&d[i],&x);
        add(x,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        d[i]=c[i]-d[i];
    }
    memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof dp);
    dfs1(1);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(dp[1][i][0]<=b||dp[1][i][1]<=b){
            ans=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
//dp[i][j][k] to node i, choose j goods, using or not the discount

 

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真っ白な世界で目を覚ませば　在全白的世界中醒来
伸ばす腕は何もつかめない　　伸出手却什么也掌握不到
见上げた空が近くなるほどに　仰望天空，似乎有变近的感觉
仆は何を失った？　　　　　　我失去了什么吗？

透通る波　　　　　　　　　　澄澈纯粹的波纹
映る仆らの影は苍く远く　　　映照出的我们的影子是那么苍蓝那么遥远
あの日仆は世界を知り　　　　那一天我明白了什么是世界

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　—— 歌に形はないけれど（虽然歌声无形）