二分图匹配建图学习

0.引子

CF1364 E. Fair Share

题意：给出若干大小为偶数的数组，对于每个数组，将一半的数放入集合A，另一半放入集合B。问是否有一种分法，使得A=B。

解0.5：嗯将所有东西分为两堆，很容易想到二分图。现在来建图，考虑将所有数分为一边，两个集合分为另一边，但是要怎么保证每组分出去一半数。。。那再加一排组，这有点像网络流，问题不大反正二分图能拿网络流跑，所以最终流量是什么呢。。。算了先复习一下二分图吧。

1.概念

二分图判定：图中不存在奇环。

代码待添加

二分图最大匹配：选出最多的边，使得没有两条边共用一个顶点；

二分图最小点覆盖：选出最少的点，使得每条边都有一个端点被覆盖。

著名定理：二分图最大匹配=二分图最小点覆盖。

二分图最小路径覆盖：选出最少的边，覆盖所有的点。

著名定理：二分图最小路径覆盖=所有点个数-最大匹配。

最大匹配算法：匈牙利算法

int n,m;
int vis[maxx]={0},match[maxx]={0};
int dfs(int now){
    for(int i=0;i<e[now].size();i++){
        int to=e[now][i];
        if(!vis[to]){
            vis[to]=1;
            if(!match[to]||dfs(match[to])){
                match[to]=now;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
signed main() {
    ...
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        if (dfs(i))
            ans++;
    }
    ...
}

二分图匹配的模型有两个要素：

1.节点能分成两个独立的集合，每个集合内部有0条边；

2.每个节点只能与一条匹配边相连。

我们把它简称为“0要素”和“1要素”。在把实际问题抽象成二分图匹配时，我们就要寻找题目中具有这种“0”和“1”性质的对象。

 

——《算法竞赛进阶指南》

好书，好书。

好书配了点例题，还有之前做的两个题，现在往里套一套。

2.例题

1.POJ-3041

题意：给定一张n*n的图和k个点，每次可以消灭一行和一列的点，求最少几次可以把所有点消灭完。

解：每个点要么被所在行消灭，要么被所在列消灭，这两件事中只能发生一种，是1元素。行和列显然没有联系，是0元素。那么行和列为点，k个点作为边元素，将所在行和列连接起来。现在来看这张图，意思就是：选取最少的点，覆盖所有的边，为最小点覆盖、

2.POJ-3020

题意：给定一张图，上面有很多*。有一些1×2的小纸片，问至少用多少小纸片能覆盖所有的*。

解：小纸片一次能覆盖两个格子，若把棋盘分为黑白相间的格子，那也就是说，颜色相同的两个格子之间不能有小纸片。虽然听起来很怪，但棋盘上的0要素经常这么搞。然后看 * ，每个 * 只能被一个纸片覆盖（当然也可以盖两个，但没有必要，除非要盖另一个点时盖到了它，可这个纸片不能算它头上）。现在将黑白格分为两列，上面有星星的可以向四周连边，要求选取最少的边，覆盖所有有星星的点。既然要覆盖的是有星星的点，那其他点可以忽略，然后求最小路径覆盖。注意现在连边是双向边，最后最大匹配个数要/2。至于有的点没有连边也没关系，画个图会发现算进去了。

3.棋盘覆盖

题意：棋盘上有一些禁区，问在1×2的骨牌不重叠的情况下，最多能放多少骨牌。

解：同样将黑白两色格子分开，每个格子最多只能被覆盖一次，也就是选取最多的边，边与边之间没有共同点，二分图最大匹配。

*4.POJ-3565

虽然和上面的画风不太一样，但挺好玩的。

题意：给出n个白点和n个黑点的坐标，要求一 一配对，总路程最小且任意两条线不相交。

解：任意两条线不相交其实就是路程最小的意思，跑最大权匹配就可以了。

5.POJ-1325

题意：AB两台机器都有M种模式。每个任务在机器A上执行，需要调为a[i]模式；在机器B上执行，需要调为b[i]模式。任务可以以任意顺序执行。每次换模式需要重启，求重启最小次数。

解：每个任务要么在A上执行，要么在B上执行。A和B不能同时出现。A和B的M个模式为两排点，任务执行为边，连接两种模式。要求选择最少的点，覆盖所有边。最小点覆盖。

3.最大独立集

其实没有必要单独拎出来，但书看到这里是个新概念。

1.概念

图的最大独立集：点集中任意两点之间没有边。

图的最大团：点集中任意两点有边。

*对于一般无向图，最大独立集和最大团属于NPC问题（太好了我最喜欢NPC问题了这样就不用做了（毫无探索精神的咸鱼

定理：对于二分图，最大独立集=n-最大匹配数。

二分图最大独立集=二分图最小路径覆盖。

*对于有向无环图，最小路径覆盖=拆点后二分图的最大匹配。

2.例题

题意：骑士们按“日”字攻击，问棋盘上最多放多少个不能互相攻击的骑士。

解：日字两对角不能同时放人，连边。但是有点不一样，上面的棋盘覆盖是两个点不能被同时覆盖，但都要覆盖，这是有你没我。要求选取最多的点，且每两个点之间不能有边。最大独立集出来了。

4.尾

对于0元素和1元素的乱解读：0元素即不能同时出现的两方，通常被分为两边节点。1不一定是仅限一次，主要代表有这个事件的发生。这样粗略连出图后，即可根据题意判断要求什么。

好我们接下来看开头的题目。每个数要么在左边，要么在右边，但怎么分正是要求的东西，不能用它来分结点，得找另一个要么……要么……。离谱的想法出现了，一个数只在一个组里，但这组未免太多了一些。

题解，打开！

解1.0：将数组和数分为两边，数在数组里则连边，出现几次连几条边，然后找这张图的欧拉路（……），从右往左为一组，从左往右为另一组。从边看，每个数都分到了一组，并且由于度是偶数，还平分了。

完全没有用呢阿sir，去看女子1000米决赛辽！

——比赛很快结束了，有人欢欣鼓舞，有人抱头痛哭，竞技大抵都是如此吧。