割点:删去这个点后整张图不再联通。
割边:删去这条边后整张图不再联通。
一棵树中删去任意一条边或一个点,整张图不再联通,因此树上的每个点和每条边都是割点(边)。
环里的点互相可以到达,如果只看连通性的话,可以把它们视作一点。如果将所有环缩成一个点,那么这张图会变成一棵树。
tarjan有关环的算法(这个人发明的算法太多了orz)可以在O(n)的时间复杂度里找出图里的所有环。由于图常常不连通,所以它一般是这么用的:
for(int i=1;i<=n;i++){ if(!dfn[i]) tarjan(i); }
这里面数组的名字都挺好听的x
时间戳dfn:一个点第一次被到达时给的编号。
追溯值low:一个点能到达的最小编号。
如果一个点的追溯值小于它的时间戳,那么说明它是环的一部分;
现在想象一个递归,遍历完一个环,正在回溯。环中每个点low[now]<dfn[now],当退到一个点,low[now]==dfn[now],说明即将退出环。
如果有两部分,从一边到另一边一定要经过一个点,也就是dfn[now]<=low[to],那么这个点是割点;如果这个点是根,那么它要有两个子树才是割点。
如果只有一条边连接,dfn[now]<low[to],这条边是割边。
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现在来实现。对于有向图,按上面模拟即可。
无向图它有一条连向父亲的边,很麻烦。如果直接掠过连向父亲的边,会无法处理有重边的情况。所以将边成对存储,每次判断是否遍历了和它为一对的边。
无向图割点和割边:推荐读物(?)