杂题随笔 2024.10.25 两道图论
最近在写abc375这场，最后的F和G是两道很典的图论题。
https://atcoder.jp/contests/abc375/tasks/abc375_f
题意：大致就是说给你一张图，有两种操作：第一种操作是把第i条边删掉，第二种操作是询问u,v两点的最短路。
解法：这种题目印象里好像是考过几次了，把在线询问的顺序转变，倒着做，把减边变成加边操作然后再一步步用Floyd维护最短路即可。这道题的点的数量只有300.具体处理的细节就是先把操作给离线下来，那些没有涉及到操作的边就直接在预处理的时候就更新距离，涉及到操作的边再一步步用Floyd维护。
代码
const ll INF = 1e18;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
vector<int> a(m),b(m),c(m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
a[i]--;
b[i]--;
}
vector<int> o(q),x(q),y(q);
vector<bool> bl(m);
for(int i=0;i<q;i++)
{
cin>>o[i];
if(o[i]==1)
{
cin>>x[i];
x[i]--;
bl[x[i]]=1;
}
else
{
cin>>x[i]>>y[i];
x[i]--;
y[i]--;
}
}
// cerr<<1<<'\n';
vector dis(n,vector(n,INF));
for(int i=0;i<n;i++)
{
dis[i][i]=0;
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(!bl[i])
{
dis[a[i]][b[i]]=dis[b[i]][a[i]]=c[i];
}
}
for(int k=0;k<n;k++)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
}
}
// cerr<<1<<'\n';
vector<ll> ans(q);
for(int i=q-1;i>=0;i--)
{
if(o[i]==1)
{
int j=x[i];
for(int x=0;x<n;x++)
{
for(int y=0;y<n;y++)
{
dis[x][y]=min({dis[x][y],dis[x][a[j]]+c[j]+dis[b[j]][y],dis[x][b[j]]+c[j]+dis[a[j]][y]});
}
}
}
else
{
ans[i]=dis[x[i]][y[i]];
}
}
// cerr<<1<<'\n';
for(int i=0;i<q;i++)
{
if(o[i]==2)
{
ll x=ans[i];
if(x==INF)
{
cout<<-1<<'\n';
}
else
{
cout<<ans[i]<<'\n';
}
}
}
}
https://atcoder.jp/contests/abc375/tasks/abc375_g
题意：给出一张图，问拆掉第i条边会不会改变1到n的最短路。
解法：这种题好像也是常出的题。我们先分别以1和n为起点各自跑一遍Dij，然后去一步步筛选。如果一条边，他到1的最短路+他到n的最短路+他自己的权值=1到n的最短路，那么这条边就先被保存下来，其他不满足这个条件的边就没必要讨论了，全部都是No，因为肯定不会是在1到n的最短路上的。然后我们再考虑这些边，假如说当前遍历到的这条边是桥，那么肯定是Yes，否则是No。
代码：
#define maxn 200010
int n,m;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int d1[maxn],d2[maxn];
vector<PII> vec[maxn];
array<int,4> e[maxn];
vector<int> G[maxn];
int vis[maxn];
ll dis[maxn];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> >que;
void dij(int st,int dis[])
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=1e18;
}
dis[st]=0;
que.push({dis[st],st});
while(!que.empty())
{
auto x=que.top().second;
que.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(auto [to,val]:vec[x])
{
if(dis[to]>dis[x]+val)
{
dis[to]=dis[x]+val;
que.push({dis[to],to});
}
}
}
}
int dfn[maxn],low[maxn],idx;
map<PII,bool> mm;
void dfs(int now,int fa)
{
dfn[now]=low[now]=++idx;
for(auto to:G[now])
{
if(!dfn[to])
{
dfs(to,now);
low[now]=min(low[now],low[to]);
if(low[to]>dfn[now])
{
mm[{now,to}]=1;
mm[{to,now}]=1;
}
}
else if(to!=fa)
{
low[now]=min(low[now],dfn[to]);
}
}
}
vector<array<int,4> > ve;
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
e[i]={a[i],b[i],c[i],i};
vec[a[i]].push_back({b[i],c[i]});
vec[b[i]].push_back({a[i],c[i]});
}
dij(1,d1);
int dis=d1[n];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
vis[i]=0;
}
dij(n,d2);
vector<int> ans(m+1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
auto [u,v,w,id]=e[i];
if(d1[u]+d2[v]+w==dis||d1[v]+d2[u]+w==dis)
{
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
ve.push_back(e[i]);
// cerr<<1<<'\n';
}
else
{
ans[i]=0;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!dfn[i])
{
dfs(i,0);
}
}
for(auto [u,v,w,id]:ve)
{
// cerr<<mm[{u,v}]<<" ";
if(mm[{u,v}])
{
ans[id]=1;
}
else
{
ans[id]=0;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(ans[i])
{
cout<<"Yes"<<'\n';
}
else
{
cout<<"No"<<'\n';
}
}
}
