Prufer序列

Prufer序列通常在图的计数问题中比较常用。

Prufer序列的构造方法：（图片源自oiwiki）

具体操作步骤：先找到叶子结点中编号最小的节点，然后删除。在Prufer序列中的元素就是每次删除的节点的父节点。由于最后操作必然会剩下两个节点，两个节点都是叶子结点，于是操作完毕，最终构造出的Prufer序列有n-2个元素。

Prufer序列有以下几个性质：
1.假设节点u的度数为deg[u]，那么节点u在Prufer序列中的出现次数为deg[u]-1。
2.在构造完原树之后会剩下2个节点，其中一个必然是编号最大的节点。
3.一个Prufer序列对应的树唯一，一颗树的Prufer序列唯一。

一些由基本性质扩展出来的性质：
1.对于一个n个节点的完全图，其无根树共有$n^{n-2}$种情况（Cayley公式）
2.对于一个n个节点的完全图，其无根树共有$n^{n-1}$种情况（因为每个点都能为根）
3.已知每个点的度数，其生成树共有$\frac{(n-2)!}{\prod _1^n(deg[i]-1)!}$种情况。

P6086 【模板】Prufer 序列：https://www.luogu.com.cn/problem/P6086
模版题。
1.构造Prufer序列的线性做法的大致思路：
从1到n-1遍历每个点，当发现当前点是叶子结点（度数为1），进行操作。首先将其父节点加入Prufer序列中，将当前节点删除并将父节点的度数-1.如果父节点因当前删除操作而成为叶子结点，我们比较父节点和当前节点的大小。若父节点比当前节点更小则下一步操作必删父节点，继续递归操作即可。否则继续按照顺序遍历节点，直到找到叶子结点再进行删点操作。

void del(int x,int y)//x是当前点的编号，y是当前的编号大小上限
{
    pru[++tot]=x;//prufer 序列
    if(--deg[fa[x]]==1&&fa[x]<y) add(fa[x],y);//递归加点 
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(deg[i]==1) del(i,i);
}

2.从Prufer序列还原树的操作 线性做法大致思路：
我们知道每个点在Prufer序列中的的出现次数是deg[u]-1，那么通过每个点的出现次数可以知道度数，知道度数了之后可以判断是否为叶子结点。
我们遍历Prufer序列中的每一个元素，统计其出现次数。再从1到n-1遍历每个点，当发现其出现次数为0说明是叶子结点，那么按照Prufer序列中从前往后的顺序依次还原其父节点。假如父节点的编号比当前节点更小那么下一个必定还原父节点，实际上就是把生成Prufer序列的操作反过来了。

void add(int x,int y)
{
    fa[x]=pru[++tot];
    if(--cnt[fa[x]]==0&&fa[x]<y) add(fa[x],y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(cnt[i]==0) add(i,i);
}