NOIP2007 树网的核

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最近搞一搞树型结构……毕竟自己树的知识学的太垃圾了。

首先这道题非常明显要求树的直径。树的直径有好多好多种求法，这里我选择了一位dalao的非常简洁的dfs的方法。先看一下代码。

void dfs(int x)
{
    for(int i = head[x];i;i = e[i].next)
    {
    if(fa[x] == e[i].to || vis[e[i].to]) continue;
    fa[e[i].to] = x;
    dis[e[i].to] = dis[x] + e[i].v;
    dfs(e[i].to);
    }
}

代码非常的简短。具体的思想也很好理解，就是依次向下dfs，然后使用fa来记录在直径上都有哪些点。不过这个使用的时候要注意，就是每次要被开始进行搜索的那个点的dis赋成0.

思想就是两遍dfs。第一遍先随便搜，搜到一个与之相距最远的点（这个点必然是树的直径之一），之后再从这个点进行dfs，之后搜到一个与之距离最远的点（直径的另一个端点），这就是树的直径了。

然后怎么做？

我们可以使用直径的性质。首先来看偏心距的定义，对于一条路径F，树中与之距离最远的点到路径F的距离为F的偏心距。首先每条直径肯定会有一个最小的偏心距，所以只要求一条直径就可以啦。

之后，我们要求偏心距最小……首先我们通过直径的性质可以知道一件事，就是对于直径上一条路径的偏心距，一定是当前这条路径的两端点到直径两端点距离的最大值。这个必然成立，否则肯定存在一条比你当前求的直径还长的一条链。

那么我们就可以使用贪心的思想，每次在直径上取一条长度不大于限制条件的路径，之后每次更新最小偏心距即可。注意有一种特殊情况就是直径的总长要小于限制的长度，这时就从每个在直径上的点开始dfs，最后输出最大的值就好啦。

看一下代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 5000005;
const int INF = 1000000009;

int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
    {
    if(ch == '-') op = -1;
    ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
    {
    ans *= 10;
    ans += ch - '0';
    ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}

struct node
{
    int next,to,v;
}e[M<<1];

int n,s,x,y,ecnt,head[M],dis[M],fa[M],r1,r2,ans = INF,k,z;
bool vis[M];

void add(int x,int y,int z)
{
    e[++ecnt].to = y;
    e[ecnt].v = z;
    e[ecnt].next = head[x];
    head[x] = ecnt;
}

void dfs(int x)
{
    for(int i = head[x];i;i = e[i].next)
    {
    　　if(fa[x] == e[i].to || vis[e[i].to]) continue;
    　　fa[e[i].to] = x;
    　　dis[e[i].to] = dis[x] + e[i].v;
    　　dfs(e[i].to);
    }
}
void solve()
{
    ans = -1;
    for(int i = r2;i;i = fa[i]) vis[i] = 1;
    for(int i = r2;i;i = fa[i])    dis[i] = 0,dfs(i);
    rep(i,1,n) ans = max(ans,dis[i]);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    n = read(),s = read();
    rep(i,1,n-1) x = read(),y = read(),z = read(),add(x,y,z),add(y,x,z);
    dfs(1);
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    rep(i,1,n) if(dis[i] > dis[r1]) r1 = i;//找到第一个端点
    dis[r1] = 0,dfs(r1);
    rep(i,1,n) if(dis[i] > dis[r2]) r2 = i;//找到第二个端点
    k = r2;
    if(dis[k] <= s)
    {
    　　solve();//直径长度小于限制长度的解决
    　　return 0;
    }
    for(int i = r2;i;i = fa[i])
    {
    　　while(fa[k] && dis[i] - dis[fa[k]] <= s) k = fa[k];//贪心取链
    　　ans = min(ans,max(dis[k],dis[r2] - dis[i]));//更新最小偏心距
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}