HNOI2008 明明的烦恼 (purfer序列 + 组合数学)

传送门

这道题题意描述很清楚,不过我自己做的时候确实是一头雾水……又看了题解,发现要用到一个新知识,叫purfer序列。

我们来简单说一下什么是purfer序列。它可以被看作一种树的表现形式。一棵含有n个节点的树可以用一个长度为n-2的purfer序列表示,而其中每一个树都是1~n之间的一个数。

每一棵树,它都有自己唯一的purfer序列,反过来,对于每一个purfer序列,都能获得唯一的一棵树。也就是说,树与其purfer序列一一对应。

先说一下怎么求purfer序列。首先找出这棵树中,节点编号数最小的一个叶子结点(度数为1,只有连向其父亲的一条边),把与它相连的那个节点加入到purfer序列中,并且将这个节点和与之相连的边从这棵树中删除。重复上述过程n-2步,得到一个长度为n-2的purfer序列和一个只有两个节点的树。

(还是偷一下大神的图来描述这件事)

看看下面的例子:

假设有一颗树有 5 个节点,四条边依次为:(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5),如下图所示:

第 1 步,选取具有最小标号的叶子节点 3,将与它相连的点 1 作为第 1 个 Purfer Number,并从树中删掉节点 3:

第 2 步,选取最小标号的叶子节点 1,将与其相连的点 2 作为第 2 个 Purfer Number,并从树中删掉点 1:

第 3 步,选取最小标号的叶子节点 4,将与其相连的点 2 作为第 3 个 Purfer Number,并从树中删掉点 4:

最后,我们得到的 Purfer Sequence 为:1 2 2

既然如此,purfer序列就求好了,那我们再说一下怎么通过purfer序列求它相对应的树。

先把所有节点的度数赋为1,再加上其在Purfer序列中出现过的次数,得到每一个节点的度。每次选取编号最小的度数为1的节点(比如当前枚举到第i个点),将这个节点和Purfer序列中第i个数所对应的点连一条边,并且把这两个点的度数-1。最后得到两个度数为1的点,我们再把他们连边,加入到树中。这样就成功的通过purfer序列求出一棵树了。

(我们再偷一次大神的图并且以上面的例子为例描述一下这个过程)(感谢大神orz)

 

顶点 1 2 3 4 5
2 3 1 1 1

 

 

 

第 1 次执行,选取最小标号度为 1 的点 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 个数 1 连边:

将 1 和 3 的度分别减一:

 

顶点 1 2 3 4 5
1 3 0 1 1

 

 

  

第 2 次执行,选取最小标号度为 1 的点 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 个数 2 连边:

将 1 和 2 的度分别减一:

 

顶点 1 2 3 4 5
0 2 0 1 1

 

 

 

第 3 次执行,将最小标号度为 1 的点 4 和 Purfer Sequence 第 3 个数 2 连边:

将 2 和 4 的度分别减一:

 

顶点 1 2 3 4 5
0 1 0 0 1

 

 

 

最后,还剩下两个点 2 和 5 的度为 1,连边:

 

这样我们就知道,purfer序列必然与树是一一对应的。

而且我们还知道了一条性质,一个点在purfer序列中出现的次数等于其度数-1.

那我们来看一下这道题。

首先考虑无解的情况,这个很好判断,如果任意一个点的度数是0或者大于n-1那么就无解,否则有解。

之后再看一般的情况。我们假设一共有m个节点是有度数限制的,剩下n-m个节点没有度数限制。那么sum = sigma 1~m(d[i] - 1)

也就是说,这些点占据了purfer序列中sum个位置(一共有n-2个位置),所以这次选择的种类是C(n-2,sum)

之后对于这个长度为sum的序列,我们考虑一下,第一个位置可以填入d[1]-1个数,选择的方案为C(sum,d[1]-1),那么在第二个位置可以填d[2]-1个数,选择的方案就是C(sum-(d[1]-1),d[2]-1)。

这样推下去,可以得到总的排列数是:(偷一下图吧(^_^))

 

 之后,因为剩下的n-2-sum个位置,每个没有度数限制,所以可以随便填,那么就还有m^(n-2-sum)种情况。把两者相乘即为答案。

不过写高精度是不可能的。

我们可以对每个元素都进行质因数分解,开个桶记录一下每个数的出现次数,最后把他们乘起来就好。可以先行约去分子分母中相同的数。

不过最后一波把所有数乘起来还是要高精的……不过反正是高精乘低精,比较好写。

写题的时候还有个小插曲……质因数分解的时候,非常智障的写成了while(p),结果导致出现了floating point exception :8这么个错误(好像在Windows下是RE)

不管怎么说,以后要注意啊。

上一下代码。(这题其实很神奇因为不需要求puffer序列)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
const int M = 10005;
int n,len,a,sum,k,tot;
int t[10001],ans[M+1],prime[M+1];
bool np[M];
int read()
{
  int ans = 0,op = 1;
  char ch = getchar();
  while(ch < '0' || ch > '9')
  {
      if(ch == '-') op = -1;
      ch = getchar();
  }
  while(ch >='0' && ch <= '9')
  {
      ans *= 10;
      ans += ch - '0';
      ch = getchar();
  }
  return ans * op;
}
void euler()
{
    rep(i,2,n)
    {
    if(!np[i]) prime[++tot] = i;
    for(int j = 1;i * prime[j] <= n;j++)
    {
        np[prime[j] * i] = 1;
        if(!(i % prime[j])) break;
    }
    }
}
void C(int a,int b)
{
    rep(i,b+1,a)
    {
    int p = i,d = 1;
    while(p > 1)
    {
        while (!(p % prime[d])) ans[d]++,p /= prime[d];
        d++;
    }
    }
    rep(i,1,a-b)
    {
    int p = i,d = 1;
    while(p > 1)
    {
        while (!(p % prime[d])) ans[d]--,p /= prime[d];
        d++;
    }
    }
}
void calc()
{
    int d = 1;
    while(sum > 1)
    {
    while (!(sum % prime[d])) ans[d] += len,sum /= prime[d];
    d++;
    }
}
int main()
{
    n = read();
    euler();
    len = n-2;
    rep(i,1,n)
    {
    a = read();
    if(!a || a >= n)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    if(a == -1)
    {
        sum++;
        continue;
    }
    a--,C(len,a),len -= a;
    }
    if(len) calc();
    t[1] = 1,k = 1;
    rep(i,1,170)
    {
    while(ans[i])
    {
        ans[i]--;
        rep(j,1,k) t[j] *= prime[i];
        rep(j,1,k) if(t[j] >= 10) t[j+1] += t[j]/10,t[j] %= 10;
        while(t[k+1]) k++,t[k+1] += t[k] / 10,t[k] %= 10;    
    }
    }
    per(i,k,1) printf("%d",t[i]); enter;
    return 0;
}

 

posted @ 2018-08-24 07:00  CaptainLi  阅读(242)  评论(0编辑  收藏  举报