SCOI2009 迷路

传送门

首先有一个结论：一个只有0，1的邻接矩阵，\(f[i][j]\)表示第\(i\)点到第\(j\)点走1步的路径条数。那么这个矩阵的k次幂的\(f[i][j]\)就表示第\(i\)点到第\(j\)点走k步的路径条数。

这个可以用矩阵快速幂优化，不过图有边权怎么办？

我们可以拆点。因为边权很小，所以可以把每个点都拆成9个点。这样每个拆开的点向下一个点连边，边权为1。最后一个点连向它通向的点的第一个点即可。

结果就是起始点拆开的第一个点到终点拆开的第一个点的路径条数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
#define fr friend inline
#define y1 poj
#define mp make_pair
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define sc second
#define pb push_back

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 10005;
const int INF = 1000000009;
const ll mod = 2009;
const double eps = 1e-7;

ll read() 
{
    ll ans = 0,op = 1;char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') op = -1;ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = ans * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ans * op;
}

ll n,T,k;
char s[15][15];

struct matrix
{
   ll f[105][105];
   matrix(){memset(f,0,sizeof(f));}
   fr matrix operator * (const matrix &a,const matrix &b)
   {
      matrix c;
      rep(i,1,n)
     rep(j,1,n)
     rep(k,1,n) c.f[i][j] += a.f[i][k] * b.f[k][j],c.f[i][j] %= mod;
      return c;
   }
}F;

void build()
{
   rep(i,1,n)
   {
      rep(j,1,8) F.f[(i-1)*9+j][(i-1)*9+j+1] = 1;
      rep(j,1,n) if(s[i][j] > '0') k = s[i][j] - '0',F.f[(i-1)*9+k][(j-1)*9+1] = 1;
   }
   n *= 9;
}

matrix mpow(matrix a,ll b)
{
   matrix p;
   rep(i,1,n) p.f[i][i] = 1;
   while(b)
   {
      if(b&1) p = p * a;
      a = a * a,b >>= 1;
   }
   return p;
}

int main()
{
   n = read(),T = read();
   rep(i,1,n) scanf("%s",s[i]+1);
   build();
   matrix d = mpow(F,T);
   printf("%lld\n",d.f[1][n-8]);
   return 0;
}