SDOI2012 Longge的问题

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题目描述很简洁，求\(\sum_{i=1}^ngcd(i,n)\)

由于我们难以直接求出\(gcd\)，所以我们换一种比较套路的做法：枚举\(gcd\)，转化为数论函数计算。

根据欧拉函数的性质：\(n = \sum_{d|n}\varphi(d)\)，那么我们就能把式子改写一下，得到

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i,d|n} \varphi(d) \]

转换一下可以得到：

\[\sum_{i=1,d|i}^n\sum_{d|n} \varphi(d) \]

前面那一项就是\(\frac{n}{d}\) ,把两项调换一下

所以结果就是 $$\sum_{d|n}d \varphi(\frac{n}{d})$$

或者我们可以换一种推导方法，同样是枚举gcd，这次我们改写成这个形式：

\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n[gcd(i,n) == d] \]

把d除进去，就有：

\[\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d}) == 1] \]

然后后面其实就是一个欧拉函数的形式，所以结果就是：

\[\sum_{d|n} d \varphi(\frac{n}{d}) \]

我们只要每次在\(\sqrt{n}\)的范围内枚举质因子，然后在\(O(\sqrt{n})\)的时间内计算欧拉函数即可。注意要开\(longlong\)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
#define fr friend inline
#define y1 poj
#define mp make_pair
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define sc second
#define pb push_back
#define I puts("bug")

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 200005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1);
const ll mod = 1e9+7;

ll read()
{
    ll ans = 0,op = 1;char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') op = -1;ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = ans * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ans * op;
}

ll n,p[M],tot;
bool np[M];

ll phi(ll x)
{
   ll ans = x,m = sqrt(x);
   rep(i,2,m) if(!(x % i)) {ans = ans - ans / i; while(!(x%i)) x /= i;}
   if(x > 1) ans = ans - ans / x;
   return ans;
}

ll calc(ll x)
{
   ll cur = 0;
   for(int i = 1;(ll)i * i < x;i++) if(x % i == 0) cur += (ll)i * phi(x/i) + (ll)(x/i) * phi(i);
   if((ll)sqrt(x) * sqrt(x) == x) cur += (ll)sqrt(x) * phi(sqrt(x));
   return cur;
}

int main()
{
   n = read();
   printf("%lld\n",calc(n));
   return 0;
}