Educational Codeforces Round 112 E、Boring Segments
原题网址
https://codeforces.com/contest/1555/problem/E
题目大意
有n个区间。每个区间是[1,m]的子区间。从a可以一步走到b的充要条件是存在区间同时覆盖[a,b]。若n个区间中取出一些区间后,可以只通过被取出的区间从1走到m,则称这些被取出的区间组成的集合A是好的。每个区间有价值w,求一个好的集合A的所有元素中,最大价值与最小价值的差的最小值。
数据结构
线段树,支持以下两种操作:
- 插入或删除区间
- 查询当前区间集合是否为好的
若一个区间集是好的,则1.5,2.5,...,m-0.5都至少被一个区间覆盖,区间[a,b]可以覆盖a+0.5,...,b-0.5。所以我们可以将每个区间的右端点减一后再操作,线段树第a个元素表示a+0.5被多少个区间覆盖。这样只要查询线段树中[1,m-1]最小值是否为0,不为0即好的。
由于m较大,必须使用懒修改方法,每个节点增加lazy值(区别于真正的val值)。需要注意:
- 访问某节点时,先进行push操作(将本节点lazy值转给val值,如果还有孩子,则lazy值传递给孩子,清空本节点lazy值),不管被查区间是多少(若l>r也要push,因为只要能递归到,就表示该点实际上表示了一个区间,需要把lazy值转给val值)。
- 修改时,如果某个节点表示的区间全都要修改,只修改该节点lazy值,不递归。改完后必须进行push操作,把lazy值转成val并传递给孩子。
- 递归返回时,将两个孩子的val组合成本节点的val。
解题思路
本题为最优化问题。显然尽可能选价值差较小的区间。
先将所有区间按价值排序。
用双指针维护一个范围,左指针为给定价值最小值时,右指针为最小的价值最大值。
枚举所有最小值,根据最小值指针和线段树查询结果移动最大值指针并更新最后答案(用最大值-最小值更新ans)。
我的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
constexpr int maxn = 300000;
constexpr int maxm = 2000000;
constexpr int inf = 0x7fffffff;
struct seg {
int l, r, w;
};
bool operator<(const seg& a, const seg& b) { return a.w < b.w; }
int n, m;
int tree[maxm * 4 + 2];
int lazy[maxm * 4 + 2];
seg segs[maxn + 4];
inline int lc(int i) { return i << 1; }
inline int rc(int i) { return (i << 1) + 1; }
inline void pushdown(int i) {
lazy[lc(i)] += lazy[i], lazy[rc(i)] += lazy[i];
tree[lc(i)] += lazy[i], tree[rc(i)] += lazy[i];
lazy[i] = 0;
}
int query(int s, int e, int l, int r, int i) {
if (s <= l && r <= e) return tree[i];
pushdown(i);
auto m = (l + r) >> 1;
int sum = inf;
if (s <= m) sum = min(query(s, e, l, m + 1, lc(i)), sum);
if (e >= m + 1) sum = min(query(s, e, m + 1, r, rc(i)), sum);
return sum;
}
void update(int s, int e, int l, int r, int i, int val) {
if (s <= l && r <= e) {
lazy[i] += val, tree[i] += val;
return;
}
pushdown(i);
auto m = (l + r) >> 1;
if (s <= m) update(s, e, l, m, lc(i), val);
if (e >= m + 1) update(s, e, m + 1, r, rc(i), val);
tree[i] = min(tree[lc(i)], tree[rc(i)]);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d%d%d", &segs[i].l, &segs[i].r, &segs[i].w);
}
sort(segs + 1, segs + n + 1);
int p2 = 1;
int ans = inf;
for (int p1 = 1; p1 <= n; ++p1) {
while (p2 < n + 1 && query(1, m - 1, 1, m - 1, 1) == 0) {
update(segs[p2].l, segs[p2].r - 1, 1, m - 1, 1, 1);
++p2;
}
if (query(1, m - 1, 1, m - 1, 1) == 0) break;
ans = min(ans, segs[p2 - 1].w - segs[p1].w);
update(segs[p1].l, segs[p1].r - 1, 1, m - 1, 1, -1);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}