HN省队集训2024讲课题解

题单

Nauuo and Pictures (hard version)

考虑 dp。

设 $f_{id,i,j}$ 表示对于第 $id$ 张图片，现在进行了 $i$ 次操作，其中 $j$ 次是将某数加一，权值的期望值。 $\operatorname{O}(1)$ 转移是简单的。

这样时间复杂度是 $\operatorname{O}(nm^2)$ 的，考虑优化。

考虑将每个照片拆成 $w_i$ 个同类的且权值为 $1$ 的照片，那么现在照片就只有两种：$a_i$ 等于 $1$ 或 $a_i$ 等于 $0$。

那么就可以将 $id$ 那一位去掉。 设 $f_{i,j}$ 表示进行 $i$ 次加一操作，$j$ 次减一后的期望代价，有转移：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}\times \frac{i+\sum_{k=1}^{n}{w_k[a_k=1]}}{i-j+\sum_{k=1}^{n}w_k}$$

$$f_{i,j}=f_{i,j-1}\times \frac{\sum_{k=1}^{n}w_k[a_k=0]-j}{i-j+\sum{k=1}^{n}w_k}$$

这样时间复杂度是 $\operatorname{O}(m^2\log m)$，可以通过本题，但预处理逆元可以做到 $\operatorname{O}(m^2)$。

Anticube

首先有个想法：对每个 $a_i$ 分解质因数，然后用 $map$ 找到与之冲突的数，取两者中间出现最多的数。

但这样是 $\operatorname{O}(n\sqrt{a_i})$ 的，无法通过。（不过好像可以 BSGS？

考虑优化：首先可以先将 $\sqrt[3]{a_i}$ 内的质因数先除掉，这样是可以实现的。

那么剩下的数就一定是一下几种形式：$p^2$，$pq$ 和 $p$。

首先考虑剩下的是 $p^2$，那么直接开根就行。

如果剩下的是 $pq$，那么想要与它凑成完全立方数就只能含有 $p^2q^2$，但 $p,q$ 都是大于 $3000$ 的整数
，所以 $pq>10^10$，直接将答案加一，不要放进 $map$。

剩下 $p$ 同理。

那么这样我们就以 $\operatorname{O}(n\sqrt[3]{n})$ 解决了这道题。

PS:为了防止类似 abs((__int128)x) 之类的悲剧发生，这边建议手写 $\log V$ 的开根。（虽然这题没有涉及 __int128，但有精度问题的函数少用）。

Minimum Sum of Maximums P

首先考虑把这个奇怪的贡献拆一下，可以拆成：$\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{a_i+a_{i+1}+|a_i-a_{i+1}|}{2}}$。

为了避免一些奇怪的边界，我们在序列左右插入一个极大值，最后减去即可。

考虑到 $a_i+a_{i+1}$ 是固定的，所以我们要最小化 $\sum_{i=1}^{n-1}{|a_i-a_{i+1}|}$。

设区间左边那个固定点值为 $x$，右边那个值为 $y$，若 $x\le y$，那么直接将这段数从小到大排序一定不会更劣。类似的，如果 $x>y$，那么可以直接从大到小排，证明显然。

对于一段区间，设该区间的最大值为 $M$，最小值为 $m$，那么该区间的代价是：

$$|L_i-m|+M-m+|R_i-M|$$

（其中 $L_i$ 和 $R_i$ 是这段区间左右固定的数的值）

那么我们现在的任务就是分配每一段的最小值和最大值。

结论：对于两段编号为 $i,j$ 的区间，这两段区间的值域要么完全包含，要么没有相交。

直接反证是比较简单的。

那么我们就可以设计状态，设 $f_{l,r,s}$ 表示当前值域区间为 $[l,r]$，已经固定了的区间集合为 $s$，那么有转移：

1. 没有值域恰好为 $[l,r]$ 的区间：$f_{l,r,s}=\min{f_{l+1,r,s},f_{l,r-1,s}}$

2. 将两段拼起来，设 $len_i$ 集合为 $i$ 的段的长度和，有：$f_{l,r,s}=\min{f_{l,l+len_T-1,T}+f_{l+len_T,r,s-T}}$。

3. 正好有 $[l,r]$ 的区间：$f_{l,r,s}=\min{f_{l+1,r-1,s-{x}}+Calc_x{l,r}}$，其中 $Calc_x{l,r}$ 是第 $x$ 段值域为 $[l,r]$ 时的代价。

这样时间复杂度是 $\operatorname{O}(3^kn^2)$ 的，瓶颈在第二个转移。

咕咕咕