整数划分问题

 

 

整数划分问题

 

 

问题描述：

 

将正整数n表示成一系列正整数之和，

n=n1+n2+n3+n4+...+nk，

其中n1>=n2>=n3>=n4>=...>=nk>=1，k>=1，

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。

 

正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数，记作 p(n)。

 

 

例如，正整数6有如下11种不同的划分，所以 p(6)=11

 

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

　　

 

解题思路：

 

在正整数n的所有不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作 q(n,m)

 

n就是要划分的整数，m就是划分过程中出现的最大加数

 

 

（1）当 n=1时，q(1,m)=1

此时要划分的整数为1，实际上m的值是小于等于n的，所以此时q(1,m)=q(1,1)=1

 

（2）当 m=1时，q(n,1)=1

此时划分过程中的最大加数为1，即 n 个 1 相加

 

（3）当 n<=m 时，q(n,m)=q(n,n)

此时也是划分过程中，实际上m是小于等于n的

 

（4）当 n=m时，q(n,m)=q(n,n)=1+q(n,n-1)

 

（5）当 n>m>1时，q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)

 

 

可以根据以上的关系给出计算q(n,m)的递归公式：

 

 

测试代码：

#include<iostream>
using namespace std; 

int q(int n,int m)
{
	if(n == 1 || m == 1) return 1;
	else if(n < m) return q(n,n);
	else if(n == m) return q(n,n-1) + 1;
	else return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	int sum=q(n,n);
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

　　

运行截图：