质点运动学、刚体力学总结

质点运动学（圆周运动部分）

规定

速度：$v$

角速度：$\omega$

切向、法向加速度：$\vec{a_t},\vec{a_n}$

角加速度：$\alpha$

圆周运动

角加速度

$\alpha=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt}$

切向加速度

$\vec{a_t}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\vec{e_t}=r\alpha\vec{e_t}$

法向加速度

$\vec{a_n} =v(\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\vec e_n)=\frac{v^2}{r}\vec{e_n}= r{\omega}^2\vec{e_n}$

如何理解？

式中$\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\vec e_n$为法线方向单位矢量的变化，在此基础上乘以$v$即可得到法向向量变化。

加速度

$|\vec{\alpha}|=\sqrt{a_t^2+a_n^2} $

$\vec{a}=\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\vec{e_n}+v\frac{\mathrm d\vec{e_t}}{\mathrm dt}=r\alpha \vec{e_t}+r{\omega}^2\vec{e_n}$

（切向加法向）

相对运动

$\vec{v_{绝}}=\vec{v'_{相}}+\vec{u_{牵}}$

简单解释

牵连速度是运动中的参考系的速度。想象一辆运动的火车，乘客垂直于车厢向外丢出苹果（匀速）。对于乘客，苹果的速度为$\vec{v'_{相}}$。但对于地面（可以从上往下观察），苹果仍有火车的速度分量$\vec{u_{牵}}$，因此将二者向量相加，得到最终$\vec{v_{绝}}$。

刚体转动

预备知识

角速度矢量

$|\vec{\omega}|=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$，方向指向右手大拇指方向。

刚体上质点的运动

对于刚体上一点$p$，有： 

$\begin{matrix}v=r\omega\\a_t=r\alpha\\a_n=r\omega^2\end{matrix}$

 

刚体上角速度处处相同，质点运动属性不同只与轴距$r$有关。

力矩（Moment）、力臂

力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。

——力矩 - 维基百科

（GIF来自 力矩 - 维基百科 ）

刚体上有一点$P$，受某一外力$\vec F$作用，那么轴点到力$\vec F$直线的距离被称为力臂$d$：

构成直角三角形：$d = r \sin \theta$

$F$乘以力臂就会得到力矩$M$：

$\vec M=\vec Fd=\vec Fr\sin\theta$

或改写为叉乘形式：

 $\vec M= \vec r\times\vec F $

 

力矩是矢量，方向指向转动方向大拇指一侧。

简单介绍叉乘（矢乘）

叉乘后仍为向量；

$\vec C=\vec A \times \vec B$，其中$C=AB\sin\theta$；

$\vec C$方向遵循右手定则，由$\vec A$转向$\vec B$大拇指方向为向量方向。；

$\vec C$方向垂直于$\vec A, \vec B$平面；

有序乘法，遵循分配律。

合力矩

若刚体只有内部作用力，则这么多的内力都可以看作是一对一对的相互作用力，符合牛三。则：

$M=\sum M_{ij}=0$

那么考虑有多个外力的情况，就只需要将力矩分别求出，再求和即可：

$M=\sum_{i=1}^{n}F_ir_i\sin\theta _i$

转动定律、转动惯量

转动定律又称为“角量表示下的牛顿第二定律”。

转动定律代数推导过程

不喜欢可以跳过这一段：

将刚体看作$n$个质点连接而成的，对其中一个质点进行研究：

质点$i$：质量$\Delta m_i$，运动半径$r_i$，同时受到外力、内力$\vec{F_i},\vec{F'_i}$。

得到切向运动方程：

${F_{it}+F'_{it}=\Delta m_ia_{it}}$

根据切向加速度$a_t=r\alpha$，同时两边乘以$r_i$，代入得：

$F_{it}r_i+F'_{it}r_i=\Delta m_ir_i^2\alpha$

再对此质点进行累计，因为内力互相抵消，所以$F'_{it}r_i$项可以去掉。

并且注意到$F_{it}r_i$项即为力矩$M$，所以最终求和后式子变为：

$M=\Sigma(\Delta m_ir_i^2)\alpha$

转动惯量（重要概念！）

上文的结尾式子，我们可以单独将$\sum(\Delta m_ir_i^2)$项提出，并定义它为转动惯量$J$：

$J=\sum(\Delta m_ir_i^2)$

因此，上文的式子也可以被改写为：

$M=J\alpha$ 或 $\alpha = \frac{M}{J}$.

轻松理解：正如前文所说：转动定律又称为“角量表示下的牛顿第二定律”。在一般情况下，牛二的形式为$F=ma$，在这里我们将二者类比起来，就可以得到对应关系：

$\begin{matrix}\mathbf{加速度\Leftrightarrow 角加速度} \\\mathbf{质量\Leftrightarrow 转动惯量} \\\mathbf{力\Leftrightarrow 力矩} \end{matrix}$

因为转动惯量并不好算，所以需要记住一些常用的物体的转动惯量：

（图片来源：【大物学习笔记（一）——刚体力学】 知乎 @空山新雨后 后文未特殊说明的图片均来源于此）

平行轴定理（巧算）

注意：刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。 与刚体的运动状态无关。

由上可知，即使刚体不运动，任意一点的转动惯量都可以通过某种方式求得。在这里，我们使用一个过质心的轴的转动惯量作为参照。

若已经知道一个质量为$M$刚体过质心的轴的转动惯量$J_z$，则另一个离这个轴$L$平行轴的转动惯量$J_{z'}$有这个关系：

$J_{z'}=J_z+ML^2$

角动量守恒

角动量

质点质量为$m$，位于坐标系内一点$A$，据原点位矢$\vec r$，速度为$\vec v$（动量为$\vec p = m\vec v$）。定义质点角动量为$\vec L$：

$\vec L= \vec r \times \vec p = \vec r \times m\vec v$

角动量可以很轻松地与一般动量联系起来，只需要将动量叉乘质点的位矢。而在角量下，力矩代替了力，角加速度代替了加速度。

$L=rmv\sin\theta$

定性地理解，角动量与物体半径、质量、线速度成正比

冲量矩

对应地，冲量矩也可以很容易地定义出来：

$\int_{t_1}^{t_2}\vec M\mathrm dt=\vec {L_1}-\vec {L_2}$

角动量守恒定理

类比理解：系统所受合外力矩为$0$时，角动量守恒。

$\vec M = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec r\times m\vec v)=\frac{\mathrm d\vec L}{\mathrm dt}=\vec r\times \vec F$

$(F=\frac{p}{t},F\cdot t=p)$

当力矩$\vec M$为$0$时，角动量$\frac{\mathrm d\vec L}{\mathrm dt}$不随时间的变化而变化，角动量为常矢量。（当合外力$\vec F$为$0$时，动量$\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$不随时间的变化而变化）并且合外力$\vec F=\vec 0$或与$\vec r$共线。

在某一时间段内，作用在刚体上的外力的冲量矩等于刚体的角动量增量。（力矩对时间的积分就是冲量矩，角动量变化量就是角动量的增量）

经典情形

人体旋转时张开手臂与聚拢手臂，角速度不同。

质量为$m$的子弹以$v_0$打在单边固定的质量为$M$的木棍上，以速度$v$穿出。木棍长$L$（碰撞时间极短）：

对子弹分析：$\Delta p = m(v_0-v)$，为负数，做负功。碰撞时间极短可知$F=\frac{\Delta P}{\Delta t}$，再将$F$作用在木棍上可得：

$\begin{matrix}\ F=\frac{\Delta P}{\Delta t}, M=FL=\frac{\Delta P}{\Delta t}L=J\alpha\\ \Rightarrow \alpha = \frac{\Delta P \cdot L}{\Delta t \cdot J} \end{matrix}$

因为碰撞时间极短，又可近似为$\Delta \omega=\alpha \Delta t$，原式可变为：

$\begin{matrix}\ \Delta \omega=\alpha \Delta t=\frac{\Delta P\cdot L}{J} \\ \Rightarrow J\Delta \omega =m\Delta vL \end{matrix}$

（角）动能定理

功

力矩让刚体发生旋转$\Leftrightarrow$力让物体发生位移

$W=M\theta$

$W=\int M\mathrm d\theta$

功率

$P=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}=M\omega$

转动动能

单个质点的动能：

$E_{ki}=\frac12\Delta m_iv^2_i=\frac12\Delta m_ir_i^2\omega^2$

求和到整个刚体：

$E_{k}=\sum_i\frac12\Delta m_ir_i^2\omega^2=\frac12(\sum_i\Delta m_ir_i^2)\omega^2$

观察到$\sum_i\Delta m_ir_i^2$是转动惯量：

$E_{k}=\frac12J\omega^2$

机械能守恒定律

与传统平动的公式差别不大，（一般在没有摩擦的情况可以简化为）重力势能+动能守恒：

$E=E_p+E_k$

其中$E_k$可以用$\frac12J\omega^2$计算。

对于固定一段另一端自由下落的题型，可以使用$\Delta E_p=\Delta E_k$作为主方程进行计算。

对比记忆

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