线性方程组的解
前言
$Ax=b$
又称非齐次线性方程组
引入
给出方程组：
$\left \{ \begin{matrix} x_1 +2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = b_1\\ 2x_1 +4x_2 + 6x_3 + 8x_4 =b_2\\ 3x_1 +6x_2 + 8x_3 + 10x_4=b_3 \end{matrix} \right.$
改写成增广矩阵形式：
$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10 \end{matrix}& \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \end{array} \right ]$
此矩阵的特点：最后一行的系数是上面两行的和。因此，若想此方程组有解，则$b_1+b_2=b_3$
$\Rightarrow$如果左侧各行的线性组合为0，则右边的常数的组合为0.
消元证明：
$\left [\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2\\0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}&\begin{matrix}b_1\\b_2-2b_1\\b_3-b_2-b_1\end{matrix}\end{array}\right ]$
由最后一行得到：
$b_3-b_2-b_1=0$
与上方结论一致。
假设$b=\begin{bmatrix}1 \\5 \\6\end{bmatrix}$，进行最后的回代，将得到：
$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 0&0&2&4\\ 0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\ 3\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$
可解性
若$Ax=b$可解，则$b$属于$A$的列空间。
$\Updownarrow$ （上下两种说法其实等价）
若&A&出现$0$行，则$b$的此行也必须为$0$。
若有解：如何找出所有解？
一种方法：
因为变量可以随意取，所以将所有自由变量设置为$0$，使主变量的值唯一确定。
第二列、第四列没有主元，$x_2, x_4$设置为$0$：
$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 0&[0] &2&4\\ 0&0&0&[0] \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\ 3\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$
剔除自由变量后，剩下的方程组变为：
$\left\{\begin{matrix}x_1+2x_3=1 \\2x_3 = 3\end{matrix}\right.$
后略。
