线性方程组的解

1|0前言

2|0Ax=bAx=bAx=b

又称非齐次线性方程组

2|1引入

给出方程组：

$\left \{ \begin{matrix} x_1 +2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = b_1\\ 2x_1 +4x_2 + 6x_3 + 8x_4 =b_2\\ 3x_1 +6x_2 + 8x_3 + 10x_4=b_3 \end{matrix} \right.$

改写成增广矩阵形式：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10 \end{matrix}& \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \end{array} \right ]$

此矩阵的特点：最后一行的系数是上面两行的和。因此，若想此方程组有解，则 $b_1+b_2=b_3$

$\Rightarrow$ 如果左侧各行的线性组合为0，则右边的常数的组合为0.

消元证明：

$\left [\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2\\0 & 0 & 2 & 4\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}&\begin{matrix}b_1\\b_2-2b_1\\b_3-b_2-b_1\end{matrix}\end{array}\right ]$

由最后一行得到：

$b_3-b_2-b_1=0$

与上方结论一致。

假设 $b=\begin{bmatrix}1 \\5 \\6\end{bmatrix}$ ，进行最后的回代，将得到：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 0&0&2&4\\ 0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\ 3\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$

2|2可解性

若 $Ax=b$ 可解，则 $b$ 属于 $A$ 的列空间。

$\Updownarrow$ （上下两种说法其实等价）

若&A&出现 $0$ 行，则 $b$ 的此行也必须为 $0$ 。

若有解：如何找出所有解？

一种方法：

因为变量可以随意取，所以将所有自由变量设置为 $0$ ，使主变量的值唯一确定。

第二列、第四列没有主元， $x_2, x_4$ 设置为 $0$ ：

$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2&2&2\\ 0&[0] &2&4\\ 0&0&0&[0] \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\ 3\\ 0 \end{matrix} \end{array} \right ]$

剔除自由变量后，剩下的方程组变为：

$\left\{\begin{matrix}x_1+2x_3=1 \\2x_3 = 3\end{matrix}\right.$

后略。

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本文作者：canis's idea
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