第一类曲线（曲面）积分的理解与计算

1|0前言

许久不写博客，趁着五一假期复习一下前面的知识点。

同样的，某些未额外注明的图片或者想法来自网络大佬，如有冒犯立即删除。

2|0曲线积分

2|1理解

积分的形式一般是这样的：

$\int\limits_LF(x,y)\mathrm ds$

我们按两种方式，一步步分解。

面积理解

先考虑简单情况，按照二元函数讨论第一类曲线积分：

$F(x,y)$

这个函数表示了三维坐标系中的一个平面，应该不难理解。

随便画的 $F(x,y) = \sin(x) \sin(y)+2$

所以函数 $F(x,y)$ 在这里的含义是：点$F(x_a,y_a)$ 到 $xoy$ 平面的距离（高度）。

那我们的积分区域是 $L$.这是代表了什么呢？

可以看出位于 $xoy$ 平面上的弧线就是我们的积分区域 $L$ 了。对应的 $\mathrm ds$ 微元切割也能很容易地理解。
（如果不能理解那说明你的前置课程需要巩固一下了）

所以根据 $F(x,y) \times \mathrm ds$ ，这个函数的微元可以理解为图中小竖条面积。因此将函数取极限求和之后就会得到这一块积分区域下的异形曲面的面积了，也就是上图中标出的半透明蓝色区域。

这样我们把曲线积分变又回到了熟悉的曲线下面积的理解上来了。

线密度理解

而教材上面使用的 线密度 定义又是怎么来的呢？

假如我们将整个曲线（积分区域）压缩回二维（俯视图），那么 $F(x,y)$ 去了哪里呢？
（麻烦各位自己想象一下把 $x$ 轴拍扁的样子。。。不想做动图了）

隐藏的第三维——密度

现在想象 $xoy$ 平面的俯视图上面的一条线，这代表了我们需要的积分区域 $L$ 。在这里我们可以巧妙地将第三维映射到颜色上，用它来表示线密度。
因为我有点红绿色弱，所以我想规定：

$$颜色越红则线密度高，颜色越蓝则线密度低。中间色为紫色。$$

灵感来源于3b1b的 这个视频

（视频截图）

所以我们可以得到一张铺满整个二维坐标系的彩色渐变的函数图片（只有红色和蓝色以及中间色紫色）。上面的每个点有三个坐标：x位置，y位置，颜色。写到函数里面看起来像这样：

$颜色 = F(位置x,位置y)$ $\rho = F(x,y)$

记得图像上面那一条代表了积分区域 $L$ 的线吗？我们只需要沿着这条线对着颜色（密度）积分就能得到曲线积分了。

为什么我想用颜色可视化函数呢？因为好看啊！

2|2计算

理解了曲线积分是怎么一回事之后我们就可以着手开始计算了。

变形

形式只需要记住：

$\int\limits_LF(x,y)\mathrm ds = \int\limits_L F(x,y)\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

即可开始计算

我是怎么理解的？
后面的 $ds$ 就相当于对弧长求微分，对弧长微分用直角三角形求长度就可以了。也不知道对不对

或者可以写成参数方程的形式：

$\int\limits_LF(x,y)\mathrm ds = \int_\alpha^\beta F(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}$

注意：
曲线积分的下限一定小于上限。
如果曲线 $L$ 平行于x或y坐标轴，则把函数中的y或x变为常数。

实际计算

1. 绝大部分都需要转化为参数方程计算。一般会需要使用到：

   $\cos x^2 + \sin x^2 = 1$ （记得配方变形）

2. 如果积分曲线于圆相关，不妨尝试改变为极坐标：

   $x^2 + y^2 = a \Rightarrow r=a\cos\theta$

3. 与其他一般积分相似，偶倍奇零仍然适用。

4. 有限可加性、比较定理、估值定理、积分中值定理等依然适用。

2|3应用

1. 求平面曲线、空间曲线的质量；

2. 求曲线构件的质心坐标、形心坐标：
   质心$(\bar{x},\bar{y})$：$\bar{x} = \frac{\int\limits_L {\color{Red} x} \rho(x,y)\mathrm ds}{\int\limits_L\rho(x,y)\mathrm ds}$，$\bar{y} = \frac{\int\limits_L {\color{Red} y} \rho(x,y)\mathrm ds}{\int\limits_L\rho(x,y)\mathrm ds}$

3. 转动惯量；
   在积分里面增加 $x^2$ 或 $y^2$ 即可获得关于 $x,y$ 轴的转动惯量

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3|0曲面积分

3|1理解

有了上方曲线积分的铺垫，相信我们能很轻松地将它推广到曲面上面来。我们只需要将积分区域的小线条 $L$ 拓展到小平面即可。

因此，我们对曲面积分得到的是：积分区域下函数与底部围成的体积，或者被教材称为“曲面构件的质量”。

还是不理解？？？再看一遍上面的曲线积分吧 : (

为了便于与大部分国内教材对接，我们还是用面密度来解释。

3|2计算

根据定义（虽然我没给，但是大家应该可以懂），我们很容易可以得到计算公式：

$I = \iint\limits_sf(x,y,z)\mathrm ds$

注意：这里我们使用了二重积分来对积分区域平面进行计算，（不用害怕，我们有好办法）

但是在实际计算中我们会发现，这个定义并不好用。因此我们会向以前的面积分求助：

$当z=g(x,y)时，I = \iint\limits_sf(x,y,g(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm dx\mathrm dy$

这里的 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$ 就使用了面积分的思想：投影与三角函数。

如果你实在很好奇这是怎么推导出来的，这个知乎回答会有帮助。

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更新中。。。

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本文作者：canis's idea
本文链接：https://www.cnblogs.com/canisidea/p/first_line_intergral.html
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