静电场学习笔记（公式）

点电荷

电荷量子化（元电荷）

$e=1.602\times10^{-19}C$

库仑定律

真空中两个相距为$\vec r$点电荷之间的相互作用力：

$\vec F =\frac{1}{4\pi{\varepsilon}_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec{e_r}$

${\varepsilon}_0=8.85\times10^{-12}C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}$（真空介电常数）

场强

场强是矢量。

基本定义

$\begin{matrix}\vec E=\frac{\vec F}{q_0} \\\vec F=q\vec E\end{matrix}$

点电荷场强

假设点电荷的带电量为$Q$，某一点距离点电荷$\vec r$：

$\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\frac{1}{4\pi{\varepsilon}_0}\frac{Q}{r^2}\vec{e_r}$

若多个点电荷同时存在，场强以向量方式叠加。

根据此概念，可以计算电荷连续分布的电荷系得场强。这只是其中一种方法

取一个元电荷作为微元：

$\mathrm d\vec E=\frac{1}{4\pi{\varepsilon}_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\vec{e_r}$

其中$\vec{e_r}$是该点电荷指向空间某一点的单位位矢。再对体积进行积分，顺便带上电荷体密度$\rho$：

$\vec E=\int_V \frac{1}{4\pi{\varepsilon}_0}\frac{\rho\vec{e_r}}{r^2}\mathrm dV$

电场强度通量、高斯定理

电场线$N$、场强、电场线密度：

$\frac{\mathrm dN}{\mathrm dS}=E$

场强通量

标量。类比高中磁通量

某一个面通过电场线的数目：场强通量$\Phi_e$：

$\Phi_e=ES\cos \theta=\vec E \cdot \vec S$

通过闭合曲面的电场线数目？使用曲面积分：

$\Phi_e=\oint_{S}E\cos\theta\mathrm{d}S=\oint_{S}\vec{E}\cdot\mathrm{d}S $

规定：由闭合曲线内部穿出的电场线（$\theta < \frac{\pi}{2}$）为正。

高斯定理

穿越出任意闭合曲面的净电通量等于该闭合曲面内的净电荷除以电容率。

—— 维基百科 - 高斯定律

推导

球面情况：

设定一个正点电荷$q$，它处于一个半径为$R$的闭合球面中心。可知球面场强大小为：

$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{R^2}$

在球面上任取一个面积微元$\mathrm dS$，可求得这里的场强通量：

$\mathrm d\Phi_e=\vec E\cdot \mathrm d\vec S=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{R^2}\mathrm dS$

对整个球面进行积分：

$\Phi_e=\oint_{S}\vec E\cdot \mathrm d\vec S=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{R^2}\oint_{S}\mathrm dS=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{R^2}4\pi R^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$

$\Rightarrow\Phi_e=\oint_{S}\vec E\cdot \mathrm d\vec S=\frac{q}{\varepsilon_0}$

此法可以推广到任意曲面，结论同样适用。具体证明不再给出。

应用

计算带电体周围的场强。若场强为匀强或对称，可以选取合适的闭合曲面（高斯面）进行简单的面积分。

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