偏微分方程复习笔记
前言
本文是基于 【MIT公开课】多重变量微积分 第15讲（复习课）进行复习及笔记整理。
笔记中间可能会穿插相关知识点的quick review，有可能不属于视频内容。笔记顺序有可能与视频不符。请谅解。
感谢Prof. Denis Auroux，MIT OpenCourseWare以及中文字幕组对知识的奉献。
Topics
- 多元函数
- 全/偏微分
- 梯度
- 方向导数
杂项
以下是在正文知识点以前写出视频中提到的“不会考试”的内容。但实际上有一部分学校是会考到的。尽管如此，还是尊重了原视频的格式。不重要内容打上了星号。
多元函数
使用图像对多元函数进行探究。学会如何看等高线。
偏微分方程、梯度
偏微分配合梯度能够用来研究多元函数的变化。
求函数的近似
可以使用偏微分和梯度求解（切平面近似）。
原理：使用目标点附近的切平面对函数进行近似从而求解。函数f的主要变化率（sensitive）就是由各个偏导决定的。
公式：
其中delta r为位置的改变量。
这种近似给出了一种找等值面的切平面的方法。
*物理意义
偏微分方程对物理世界意义重大，许多物理现象可以用偏微分方程表述。
热传递，波动方程，扩散方程……（具体方程不再列出）
最优化及最值问题
临界点
所有偏导数为0的点。其分为：极大值、极小值以及鞍点。
求解区分不同类型临界点
二阶偏导数
这是教材中所用的方法。在此复习一遍。（此为极值存在的充分条件，但只对二元函数有效）
A. 求出驻点
:
B. 查看驻点的二阶偏导数 :
=B "\f_{xy}(x_0,y_0)=B")
=C "\f_{yy}(x_0,y_0)=C")
C. 计算D值并比较：
：有极值：当
取得极大值；当
取得极小值；
：没有极值；
：可能有极值，也可能没有.
注意：这种方法不一定能准确确定函数最值点，需要考虑函数边界。
side notes：极值存在的必要条件？
函数有驻点即可。有驻点不一定有极值，但极值点必定是驻点。
*最小二乘法
可以用来寻找离散数据点得到线性拟合。
全微分
基本概念
对于 :
一般形态：
链式法则：
如果 ,
,
:
如何理解？
通过探究u对于x, y, z的变化率影响x, y, z对于f的变化率
.
v变量同理。
相关变量问题（带约束的偏导数）
当变量x, y, z被某个方程限制住，无法随地大小变的时候应该如何处理？
1. 消元法
利用所给方程进行消元。简单直观好用，但不是百试百灵。所以需要更多方法作为消元法的补充。
2. 拉格朗日乘数法
假设函数的极大值和极小值受到函数
约束：
3+1个方程，能够不管以前约束条件的完全解出未知量。但不同问题计算量有较大偏差，甚至可能解不出来。题目一般会只让写出方程组即可，不用计算。
知乎@马同学 给出了与Prof类似的几何理解（可视化）。这里贴出链接，可以前往学习。如何理解拉格朗日乘子法？ - 马同学的回答
（温馨提示，去了知乎学习完不要被吸引注意力，很容易不小心刷到其他问题然后荒废一下午！）
梯度
本质
梯度是一个向量。
梯度是等值面上垂直指向更高等值面的向量。也是函数变化最剧烈的方向。
方向导数
概念
不同于普通偏导数只有三个方向，方向导数可以求出任意向量u方向上f的偏导数。
习题讲解
原视频时间戳：40:11开始的全部内容。
我的思维导图链接
快速跳转：高等数学-多元函数微分法 思维导图 以后可能会继续更新。
完整发布于：2022-04-13 21:08:42
