可逆矩阵与伴随矩阵
前言
可逆矩阵与伴随矩阵在线性代数中密不可分。在题目中也是一大难点。因此写下这篇文章记录刷题时遇到的重要知识点。
规定
1. 此文章中A矩阵默认为n阶可逆方阵；
2. 或
：为A矩阵的行列式，本文更侧重使用符合国内教材的后者；
3. ：为A矩阵的伴随矩阵；
4. ：为A矩阵的逆矩阵；
5. ：为A矩阵的转置；
6. ：为单位矩阵。
性质
基本条目
1. $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ;
2. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ;
3. $AA^*=A^*A= \lvert A \rvert E"$ ;
4. $A^{-1} = \frac{1}{\lvert A \rvert}A^*$ .
注意
a.) 第2条的公式右侧为逆序写出。（运算时仍是从右至左）
b.) 对于第二条，由于AB可替换为任何矩阵组。因此括号内不管有多少项，都请逆序写出。
c.) 第2条公式中的 "-1次方" 可以替换为 "*" 。也就是说此性质对于伴随矩阵同样适用。
d.) 条目不完整，略去了我认为完全符合直觉的性质。需要更多参考？点击跳转到维基百科
进阶条目
5. ;
6. (其中n>2) ;
7.
如何记忆？
a.) 一次伴随矩阵操作将对所有位置进行一次代数余子式的消除。因此可以记忆为每一项最后都剩下n-1的大小。
b.) 第6条可以类似记忆。两次伴随矩阵则剩下n-2。因为没有取行列式，答案仍为矩阵，因此在最后再次乘上原矩阵A。
c.) 第7条可以理解为第4条的拓展。此处将其单独列举出来。
技巧
求逆矩阵
记住最基本的方法：若，则
为
的逆矩阵。
1. 设为
阶方阵，且
，则
（ ）
解析：
（将单位矩阵丢到方程一边，并单独提取出原矩阵，剩下的即是目标矩阵。）
（转化为了
形式）
判断是否可逆
配方，分解因式，加E。相比于直接求，这种类型的配凑步骤比较考验技巧。
解析：
（懒得打公式，直接截图了）
求二阶矩阵的伴随矩阵
解析：
正对角交换，反对角变号。
易错点
1. 伴随矩阵是转置过的。很多教材将这一点隐藏在了公式里面，导致许多自学初学者（或者上课没有仔细听的同学）绕了弯路。根据维基百科：
......可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：
（节选自维基百科）
2. 设，
为同阶可逆矩阵，则（ ）
;
- 存在可逆矩阵
，使得
;
- 存在可逆矩阵
，
，使得
;
- 存在可逆矩阵
.
解析：
A选项：AB矩阵只是可逆，不一定相等，乘法交换后不一定相等。其余选项中只有C是书中给出的定义。尽管不知道其他的为啥错，选C就完事。（仅限应付机考）
