可逆矩阵与伴随矩阵

1|0前言

可逆矩阵与伴随矩阵在线性代数中密不可分。在题目中也是一大难点。因此写下这篇文章记录刷题时遇到的重要知识点。

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2|0规定

1. 此文章中A矩阵默认为n阶可逆方阵；

2. 或 ：为A矩阵的行列式，本文更侧重使用符合国内教材的后者；

3. ：为A矩阵的伴随矩阵；

4. ：为A矩阵的逆矩阵；

5. ：为A矩阵的转置；

6. ：为单位矩阵。

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3|0性质

3|1基本条目

1. $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ ;

2. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ;

3. $AA^*=A^*A= \lvert A \rvert E"$ ;

4. $A^{-1} = \frac{1}{\lvert A \rvert}A^*$ .

注意

a.) 第2条的公式右侧为逆序写出。（运算时仍是从右至左）

b.) 对于第二条，由于AB可替换为任何矩阵组。因此括号内不管有多少项，都请逆序写出。

c.) 第2条公式中的 "-1次方" 可以替换为 "*" 。也就是说此性质对于伴随矩阵同样适用。

d.) 条目不完整，略去了我认为完全符合直觉的性质。需要更多参考？点击跳转到维基百科

3|2进阶条目

5. ;

6.   (其中n>2) ;

7.

如何记忆？

a.) 一次伴随矩阵操作将对所有位置进行一次代数余子式的消除。因此可以记忆为每一项最后都剩下n-1的大小。

b.) 第6条可以类似记忆。两次伴随矩阵则剩下n-2。因为没有取行列式，答案仍为矩阵，因此在最后再次乘上原矩阵A。

c.) 第7条可以理解为第4条的拓展。此处将其单独列举出来。

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4|0技巧

4|1求逆矩阵

记住最基本的方法：若，则为的逆矩阵。

1. 设为阶方阵，且，则（        ）

解析：

（将单位矩阵丢到方程一边，并单独提取出原矩阵，剩下的即是目标矩阵。）

 （转化为了 形式）

4|2判断是否可逆

配方，分解因式，加E。相比于直接求，这种类型的配凑步骤比较考验技巧。

解析：

（懒得打公式，直接截图了）

4|3求二阶矩阵的伴随矩阵

解析：

正对角交换，反对角变号。

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5|0易错点

1. 伴随矩阵是转置过的。很多教材将这一点隐藏在了公式里面，导致许多自学初学者（或者上课没有仔细听的同学）绕了弯路。根据维基百科：

......可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

（节选自维基百科）

2. 设，为同阶可逆矩阵，则（        ）

1. ;
2. 存在可逆矩阵 ，使得 ;
3. 存在可逆矩阵 ，，使得 ;
4. 存在可逆矩阵 ，使得 .

解析：

A选项：AB矩阵只是可逆，不一定相等，乘法交换后不一定相等。其余选项中只有C是书中给出的定义。尽管不知道其他的为啥错，选C就完事。（仅限应付机考）

 

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本文作者：canis's idea
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