快速幂(转)
所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手:求abmodc
算法1.直接设计这个算法:
int ans = 1; for(int i = 1;i<=b;i++) { ans = ans * a; } ans = ans % c;
缺点:这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。
我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先看这样一个公式:ab mod c = (a mod c)c mod c
于是不用思考的进行了改进:
算法2.改进算法:
int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for(int i = 1;i<=b;i++) { ans = ans * a; } ans = ans % c;
读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。
算法3.进一步改进算法:
int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for(int i = 1;i<=b;i++) { ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余 } ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。
算法4.快速幂算法:
快速幂算法依赖于以下明显的公式:
int PowerMod(int a, int b, int c) { int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 = = 1) ans = (ans * a) % c; b = b/2; a = (a * a) % c; } return ans; }
本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。
ps:本文参考自网络
出自:http://www.cnblogs.com/wuyudong/
细雨斜风作晓寒。淡烟疏柳媚晴滩。入淮清洛渐漫漫。
雪沫乳花浮午盏,蓼茸蒿笋试春盘。人间有味是清欢。