Josephus 约瑟夫 问题

http://baike.baidu.com/view/717633.htm

  • 链表方法

  这个就是约瑟夫环问题的实际场景,有一种是要通过输入n,m,k三个正整数,来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构,就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

  解决问题的核心步骤:(程序的基本算法)

1.建立一个具有n个链结点,无头结点的循环链表;

2.确定第1个报数人的位置;

3.不断地从链表中删除链结点,直到链表为空。


  • 数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

  为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

  问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出

  ,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

  我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

  并且从k开始报0。

  现在我们把他们的编号做一下转换:

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

  序列1: 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

  序列2: 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

  序列3: k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1

  序列4:1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

  变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

  得到 x‘=(x+m)%n

  如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

  令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n].

  递推公式:

f[1]=0;

f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

  有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:


  这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

posted @ 2010-08-19 15:11  Algorithms  阅读(214)  评论(0编辑  收藏  举报