poj1265&&2954 [皮克定理 格点多边形]【学习笔记】

Q:皮克定理这种一句话的东西为什么还要写学习笔记啊？

A:多好玩啊...

PS:除了蓝色字体之外都是废话啊...

---

 Part I

1.顶点全在格点上的多边形叫做格点多边形(坐标全是整数)

2.维基百科

Given a simple polygon constructed on a grid of equal-distanced points (i.e., points with integer coordinates) such that all the polygon's vertices are grid points, Pick's theorem provides a simple formula for calculating the area A of this polygon in terms of the number i of lattice points in the interior located in the polygon and the number b of lattice points on the boundary placed on the polygon's perimeter:^[1]

 

3.看不懂英文？

S=a+b/2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积。

证明：

1.先证明直角三角形和矩形 在逆用证明任意三角形，归纳法证明任意多边形

2.

From:http://www.matrix67.com/blog/archives/768

最酷的证明：Pick定理另类证法

    难以想像，一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤紧身牛仔裤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了，现在显然我已经找到了一个更酷的证明。
    Pick定理是说，假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P，那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1，其中i为多边形内部所含的格点数，b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里，我们来看一个另类的证明。
    假设整个平面是一个无穷大的铁板；在0时间，每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后，最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e：它的两个端点均在格点上，因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心，因而流经该线段的热量收支平衡（这半边进来了多少那半边就出去了多少），即出入该线段的热量总和实际为0。我们立即看到，P的热量其实完全来自于它自身内部的i个格点（的全部热量），以及边界上的b个格点（各自在某一角度范围内传出的热量）。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形，从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。在再加上i个内部格点，于是S(P)=i+b/2-1。

Part II

一条端点在格点上的线段覆盖的点数：

gcd(dx,dy) dxdy分别为线段横向占的点数和纵向占的点数

证明：自己随便想想就知道了，和这道题的思想有点像：http://www.cnblogs.com/candy99/p/6074673.html

 

---

 

 

于是就可以做裸题了....

POJ 2954 三角形内部格点数

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
const double eps=1e-8;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
inline int sgn(double x){
    if(abs(x)<eps) return 0;
    else return x<0?-1:1;
}
struct Vector{
    int x,y;
    Vector(int a=0,int b=0):x(a),y(b){}
};
typedef Vector Point;
Vector operator +(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
int Cross(Vector a,Vector b){
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

int n,x,y,x2,y2,x3,y3,b,s;
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main(int argc, const char * argv[]){
    while(scanf("%d",&x)!=EOF){
        y=read();x2=read();y2=read();x3=read();y3=read();
        if(!x&&!y&&!x2&&!y2&&!x3&&!y3) break;
        b=s=0;
        b=gcd(abs(x2-x),abs(y2-y))+gcd(abs(x3-x2),abs(y3-y2))+gcd(abs(x3-x),abs(y3-y));
        s=abs(Cross(Vector(x2-x,y2-y),Vector(x3-x,y3-y)));
        printf("%d\n",(s-b+2)/2);
    }
    
    return 0;
}

 

POJ1265 给一个平面上的简单多边形，求边上的点，多边形内的点，多边形面积。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
const double eps=1e-8;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
inline int sgn(double x){
    if(abs(x)<eps) return 0;
    else return x<0?-1:1;
}
struct Vector{
    int x,y;
    Vector(int a=0,int b=0):x(a),y(b){}
};
typedef Vector Point;
Vector operator +(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
int Cross(Vector a,Vector b){
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

int n,x,y,b,s;
Point poly[N];
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main(int argc, const char * argv[]){
    int T=read(),cas=0;
    while(T--){
        b=s=0;
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            x=read();y=read();
            b+=gcd(abs(x),abs(y));
            poly[i]=poly[i-1]+Point(x,y);
            s+=Cross(poly[i],poly[i-1]);
        }
        s=abs(s);
        printf("Scenario #%d:\n",++cas);
        printf("%d %d %.1f\n\n",(s+2-b)/2,b,0.5*s);
    }
    
    return 0;
}