[单纯形法与线性规划]【学习笔记】

很早以前学过理论，3个月前又学了一遍写了一点笔记，现在觉得以（已）前（经）写（完）的（全）太（忘）丑（记）于是重写一遍

参考资料：

1.算法导论

2.2016国家集训队论文

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标准型

$Maximize\quad \sum\limits_{j=1}^{n} c_jx_j$

$Satisfy\quad constraint:$

$\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i,\ i=1,2,...,m$

$x_j \ge 0,\ j=1,2,...,n$

 

$n$个变量，$m+n$个约束

构造$m*n$的矩阵$A$，$m$维向量$b$，$n$维向量$c$

 

$Maximize\quad c^Tx$

$Satisfy\quad constraint:$

$Ax \le b$

$x \ge 0$

 

转化为标准型:

 

 

松弛型

松弛变量$x_{n+i}$

$\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i\  \rightarrow\ $$x_{n+i}=b_i - \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j,\ x_{n+i} \ge 0$

等式左侧为基本变量，右侧为非基本变量

 

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单纯型算法

每个约束定义了$n$维空间中的一个半空间(超平面)，交集形成的可行域是一个凸区域称为单纯型

目标函数是一个超平面，最优解在凸区域定点处取得

 

基本解：非基本变量值为$0$，基本变量为右侧的常数

基本可行解：所有$b_i \ge 0$

通过不断的转轴操作，在$n$维凸区域的顶点上不断移动(转轴)，使得基本解的目标值不断变大，最终达到最优解

 

转轴：

选取一个非基本变量$x_e$为替入变量，基本变量$x_l$为替出变量，将其互换

为了防止循环，根据$Bland$规则，选择下标最小的变量

 

初始化：

算法导论上有一个辅助线性规划的做法

但我发现好多人都用了随机初始化的黑科技

在所有$b_i < 0$的约束中随机选一个作为$x_l$，再随机选一个$a_{le} < 0$的作为$x_e$，然后$Pivot(l,e)$后$b_i$就变正了...

 

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代码实现：

直接用一个$a[][]$来保存目标函数和约束

$Pivot$里的各种操作推导一下很清楚，用了两个$trick$避免了一些判断

$id$用来保存基本变量和非基本变量集合

 

针对全幺模矩阵可以进行提取非零系数的优化

UOJ#179. 线性规划

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=25;
const double eps=1e-8,INF=1e15;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,type;
double a[N][N],ans[N];
int id[N<<1];
int q[N];
void Pivot(int l,int e){
    swap(id[n+l],id[e]);
    double t=a[l][e]; a[l][e]=1;
    for(int j=0;j<=n;j++) a[l][j]/=t;
    for(int i=0;i<=m;i++) if(i!=l && abs(a[i][e])>eps){
        t=a[i][e]; a[i][e]=0;
        for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=a[l][j]*t;
    }
}
bool init(){
    while(true){
        int e=0,l=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][0]<-eps && (!l||(rand()&1))) l=i;
        if(!l) break;
        for(int j=1;j<=n;j++) if(a[l][j]<-eps && (!e||(rand()&1))) e=j;
        if(!e) {puts("Infeasible");return false;}
        Pivot(l,e);
    }
    return true;
}
bool simplex(){
    while(true){
        int l=0,e=0; double mn=INF;
        for(int j=1;j<=n;j++) 
            if(a[0][j]>eps) {e=j;break;}
        if(!e) break;
        for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][e]>eps && a[i][0]/a[i][e]<mn)
            mn=a[i][0]/a[i][e],l=i;
        if(!l) {puts("Unbounded");return false;}
        Pivot(l,e);
    }
    return true;
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    srand(317);
    n=read();m=read();type=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[0][i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read();
        a[i][0]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i;
    if(init() && simplex()){
        printf("%.8lf\n",-a[0][0]);
        if(type){
            for(int i=1;i<=m;i++) ans[id[n+i]]=a[i][0];
            for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.8lf ",ans[i]);
        }
    }
}

 

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问题转化为单纯型：

最短路

最大流

最小费用最大流

多商品流(目前没写过)

 

对偶性：

${Max\ c^Tx\ :\ Ax \le b,\ x \ge 0}\ \quad {Min b^Ty\ :\ A^Ty \ge c,\ t \ge 0}$

最大化与最小化互换，常数与目标函数互换，改变不等号，变量与约束对应

最大流与最小割

二分图最大权匹配与最小顶标和

最小顶标和：一个带权二分图，两个顶点的顶标之和不小于连接它们的边的边权，求最小顶标和

所有边权为$1$，就是最大匹配和最小点覆盖

 

$d_{uv}$表示$u,v$是否匹配

$Max\quad \sum\limits_{(u,v)\in E}c_{uv}d_{uv}$

$Sat$

$\sum\limits_{v \in Y}d_{uv} \le 1 \quad \quad u \in X$

$\sum\limits_{u \in X}d_{uv} \le 1 \quad \quad v \in Y$

$d_{u,v}\in \{0,1\}$

 

令$p_u,p_v$为两类约束对偶之后的变量

$Min\quad \sum\limits_{u \in X}p_u + \sum\limits_{v \in Y}p_v$

$Sat$

$p_u+p_v \ge c_{uv} \quad \quad u \in X,v \in Y$

$p_u,p_v \ge 0$

 

 

全幺模矩阵(totally unimodular matrix)

充分条件：

1.仅有$-1,0,1$构成

2.每列至多两个非零数

3.行可分为两个集合：

一列包含两个同号非零数，两行不在同一个集合

一列包含两个异号非零数，两行在同一个集合

 

线性规划中$A$为全幺模矩阵，则单纯形法过程中所有系数$\in{-1,0,1}$

可以去除系数为$0$的项进行优化！

任何最大流、最小费用最大流的线性规划都是全幺模矩阵