未完

生成子群 & 原根

随便记一点东西...

---

子群：

\(群(S,\oplus),\ (S',\oplus),\ 满足S' \subset S，则(S',\oplus)是(S,\oplus)的子群\)

拉格朗日定理:

\(|S'| \mid |S|\)
证明需要用到陪集，得到陪集大小等于子群大小，每个陪集要么不想交要么相等，所有陪集的并是集合S，那么显然成立。

生成子群

\(a \in S\)的生成子群\(<a>=\{a^{(k)}:\ k\ge 1\}\)，\(a\)是\(<a>\)的生成元

阶：

群\(S\)中\(a\)的阶是满足\(a^t=e\)的最小的t,符号\(ord(a)\)
\(ord(a)=|<a>|\)，显然成立

---

考虑群\(Z_n^*=\{[a]_n \in Zn:gcd(a,n)=1\},\ |Z_n^*| = \phi(n)\)
阶就是满足\(a^{ord(a)} \equiv 1 \pmod n\)的最小\(ord(a)\)

原根

\(g满足ord_n(g)=|Z_n^*|=\phi(n)\)

离散对数

\(g^t \equiv a \pmod n,\ ind_{n,g}=t\)
因为g是原根，所以\(g^t\)每\(\phi(n)\)是一个周期，可以取到\(|Z_n^*|\)的所有元素
对于n是质数时，就是\([1,n-1]\)的所有数