[行列式与矩阵树定理]【学习笔记】

 为什么查基尔霍夫只能查到物理学家？

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参考资料：

1.生成树的计数及其应用

2.http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/54914530

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行列式

 

排列 Permutation

对换：相邻两项交换
对换会使逆序对的个数改变1
$\delta(i_1i_2...i_n)=(-1)^{t}$
$t$是逆序对的个数，可以将排列分为奇排列和偶排列

 

行列式 Determinant

$n$阶行列式：
$det(A)=\sum\limits_{(i_1i_2...i_n)}\delta(i_1i_2...i_n)a_{1,i_1}a_{2,i_2}...a_{n,i_n}=|A|$

就是每行每列只选一个元素乘起来的所有情况的和

我不对打矩阵我不画了...长得和矩阵一样只不过用$||$括起来

性质：

$1.\quad det(A)=det(A^T)$
证明：考虑定义式...
这告诉我们行列式的行和列是平等的，行满足列也满足

$2.\quad$两行互换，行列式变号
证明：两行互换后相当于排列中两个元素交换，逆序对必定改变奇数个，正负改变
证明：设交换的两个元素为$i,j$，则相当于对换了$2*(j-i)-1$次
推论：行列式两行相同时值为0

$3.\quad$一行乘上$k$,行列式乘上$k$
推论：行列式两行成比例或一行全0，值为0

$4.\quad$两个行列式只有一行不同，他们的行列式和等于不同的行相加后的行列式

证明：考虑定义式，把加的那一行展开
推论：将行列式的任意行乘以实数$k$，再相应地加到另一行上去，行列式的值不变
证明推论：拆成两个行列式的和，一个有两行成比例...
这样就可以高斯消元$get$

$5.\quad$每行每列和均为0的矩阵行列式为0。
证明：
高斯消元过程中这一性质仍然存在。
最后消出来，最后一行前$n-1$一定为$0$，又因和为$0$，所以最后一项也是$0$，出现全$0$行,行列式即为$0$。

 

计算行列式的值

$det(B)=(-1)^S det(B')=(-1)^S \prod\limits_{i=1}^n{b'_{i,i}}$

$B'$为$B$转换为上三角形式
证明：显然上三角形式的行列式的值为对角线乘起来....考虑行列式就是每行每列选一个，第一列只有选$a_{1,1}$有贡献并且这样就选了第一行剩下的不用选了，然后数学归纳法下去

 

$K$阶子式

选了k行和k列组成的行列式

主子式

$n-1$阶主子式，就是对于$r$，第r行、第r列同时去掉后得到的新行列式

 

Binet-Cauchy公式

$A\ p*q\quad B \ q*p$

$det(A*B)=$

$0\ ,\ p>q$

$det(A)*det(B)\ ,\ p=q$

q中选p个然后1..p和j1...jp分别作为行和列A和B的p阶子式相乘$\ ,\ p<q$

$det(AA^T)=(det(A))^2$

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矩阵树定理 Kirchhoff Matrix-Tree

$1.\quad G$的度数矩阵D[G]是一个$n*n$的矩阵当$i \neq j$时,$d_{ij}=0$;当$i=j$时，$d_{ij}$等于$i$的度数;
$2.\quad G$的邻接矩阵A[G];

我们定义G的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)$C[G]=D[G]-A[G]$，则Matrix-Tree定理可以描述为：

G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵$C[G]$任何一个$n-1$阶主子式的行列式的绝对值。

 

证明：

$1.\quad C[G]=0$ 因为每行每列和都是0，由推论

$2.\quad G$不连通，任一主子式$det=0$，证明考虑把每个连通块对角线排起来，每个连通分量是独立的图

$3.\quad G$是树，任一主子式$det=1$，证明考虑构造一个对角线为1的上三角行列式(其实我没认真想构造感觉正确)

 

构造图$G$关联矩阵$B$，用上面那个公式变形

直接copy论文啦，感觉说的很清楚

 

 

如果$B_r^x$存在环那么可以构造出一个行列和为$0$的子式，所以$det(B_r^x)=0$。

显然，可以看成是仅由所有的顶点和属于x的边构成的新图的Kirchhoff矩阵的一个n-1阶主子式。

根据图的Kirchhoff矩阵的性质，如果将所有属于x的n-1条边加入图中后形成一颗树，那么$det(B_r^xB_r^{xT})=1$；

而如果没有形成树，则必然存在一个环，那么 $det(B_r^x)=0$。

也就是说，我们考察边集所有大小为n-1的子集，如果这个子集中的边能够形成一颗树，那么我们的答案加1，否则不变。

这就恰好等于原图生成树的个数！

 

 

最后来自werkeytom_ftd的一个有趣的粟子

我们来常识用矩阵树定理解决一个简单问题。 
求n个点组成的无根带标号树有多少个。 
可以看做是无向完全图的生成树计数。 
它的基尔霍夫矩阵主对角线都是n-1，其余全都是-1。 
那余子式，也是一样，不过规模变成了$(n-1)*(n-1)$ 
现在求它的行列式 
让第一行加上每行，第一行变成全都是1。 
用第一行去加其余行，每个其余行除了在主对角线上是n全都变成0。 
于是最后显然变成了一个上三角矩阵，行列式为主对角线元素相乘。 
因此是$n^{n-2}$