[Link-Cut-Tree]【学习笔记】
可以按照<Utopiosphere>的调唱出来 “Link-Cut ,Time doesn’t stop .Prepare your doubts ,Eat them up”
参考资料：
1.popoqqq课件
2.《QTREE 解法的一些研究 》
3.http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50991804
一【理论知识】
- Link-Cut-Tree(简称LCT)是解决动态树类问题一种数据结构
- Preferred Child：重儿子，重儿子与父亲节点在同一棵Splay中，一个节点最多只能有一个重儿子
- Preferred Edge：重边，连接父亲节点和重儿子的边
- Preferred Path ：重链，由重边及重边连接的节点构成的链
Auxiliary Tree(辅助树)
- 由一条重链上的所有节点所构成的Splay称作这条链的辅助树
- 每个点的键值为这个点的深度，即这棵Splay的中序遍历是这条链从链顶到链底的所有节点构成的序列
- 辅助树的根节点的父亲指向链顶的父亲节点，然而链顶的父亲节点的儿子并不指向辅助树的根节点
- （也就是说父亲不认轻儿子只认重儿子，儿子都认父亲）
- 这条性质为后来的操作提供了依据
原树与辅助树的关系
- 原树中的重链 -> 辅助树中两个节点位于同一棵Splay中
- 原树中的轻链 -> 辅助树中子节点所在Splay的根节点的father指向父节点
- 注意原树与辅助树的结构并不相同
- 辅助树的根节点≠原树的根节点
- 辅助树中的father≠原树中的father
辅助树是不断变化的，重链和轻链不断变化
二【实现】
LCT用到的Splay和通常的还是有点不同，没有权值v，不进行查找操作，点编号就是原树的编号
因为是一个Splay森林，多条重链多个根，所以用isRoot(x)判断是否为根，判断isRoot(x)相当于判断x的父亲存不存在
rotate只是设置g的儿子时判断isRoot(f)就行了
splay需要pushDown了(因为没有kth了)，也是判断isRoot(pa)
Access和Cut更新了儿子关系，所以需要update
Access
- 将一个点与原先的重儿子切断，并使这个原树上点到根路径上的边全都变为重边
- 所以 这个节点到根的路径上的所有节点形成了一棵Splay
- 便于操作或查询节点到根路径上的所有节点
实现：不断把x splay到当前Atree的根，然后它的右子树就是重儿子了，修改；用y辅助
注意：Access后x不一定为这颗Splay的根，因为中途x变fa了
维护了节点信息别忘更新
MakeRoot
- 将x设为原树的根
实现：Access后splay到根，然后全在x的左子树上(权值是深度)，区间翻转即可
FindRoot
- 找x所在原树根，判连通性
实现：MakeRoot后不断往左找(不需要pushDown？加上也可以啊。不加也对因为只是来判连通，判断是不是在一棵原树上，都不pushDown找到的还是同一个点吧)
Link
实现：MakeRoot(x)然后t[x].fa=y
Cut
实现：MakeRoot(x)然后Access(y) splay(y) ，x就在y的左儿子了，t[y].ch[0]=t[x].fa=0;
维护了节点信息别忘更新
对x到y路径上的点进行修改或查询
只需要对x进行Move_To_Root操作，然后对y进行Access+Splay操作，那么x到y路径上的所有点都在以y为根的子树上
因为Access后x和y重链在一棵Splay上，x深度比y小
三【模板】
[update 2017-04-05]
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; #define lc t[x].ch[0] #define rc t[x].ch[1] #define pa t[x].fa typedef long long ll; const int N=3e5+5; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} return x*f; } namespace lct { struct meow{int ch[2], fa, rev, sum, w;} t[N]; inline int wh(int x) {return t[pa].ch[1] == x;} inline int isr(int x) {return t[pa].ch[0] != x && t[pa].ch[1] != x;} inline void update(int x) {t[x].sum = t[lc].sum ^ t[rc].sum ^ t[x].w;} inline void rever(int x) {t[x].rev ^= 1; swap(lc, rc);} inline void pushdn(int x) { if(t[x].rev) { if(lc) rever(lc); if(rc) rever(rc); t[x].rev = 0; } } void pd(int x) {if(!isr(x)) pd(pa); pushdn(x);} inline void rotate(int x) { int f=t[x].fa, g=t[f].fa, c=wh(x); if(!isr(f)) t[g].ch[wh(f)]=x; t[x].fa=g; t[f].ch[c] = t[x].ch[c^1]; t[t[f].ch[c]].fa=f; t[x].ch[c^1] = f; t[f].fa=x; update(f); update(x); } inline void splay(int x) { pd(x); for(; !isr(x); rotate(x)) if(!isr(pa)) rotate( wh(pa)==wh(x) ? pa : x ); } inline void access(int x) { for(int y=0; x; y=x, x=pa) splay(x), rc=y, update(x); } inline void maker(int x) { access(x); splay(x); rever(x); } inline int findr(int x) { access(x); splay(x); while(lc) pushdn(x), x=lc; return x; } inline void link(int x, int y) { maker(x); t[x].fa=y; } inline void cut(int x, int y) { maker(x); access(y); splay(y); t[x].fa = t[y].ch[0] = 0; update(y); } inline void split(int x, int y) { maker(x); access(y); splay(y); } } using lct::findr; int n, Q, op, x, y; int main() { freopen("in","r",stdin); n=read(); Q=read(); for(int i=1; i<=n; i++) lct::t[i].w = read(); for(int i=1; i<=Q; i++) { op=read(); x=read(); y=read(); if(op==0) lct::split(x, y), printf("%d\n", lct::t[y].sum); if(op==1) if(findr(x) != findr(y)) lct::link(x, y); if(op==2) if(findr(x) == findr(y)) lct::cut(x, y); if(op==3) lct::t[x].w = y, lct::splay(x); } }
四【一点好玩的东西】
1.LCT可做动态树问题
2.LCT可做树链剖分
3.LCT可做支持删除边的并查集(我太navie了.......并不能完全实现这个功能，是一颗树啊啊啊)
4.LCT可做不用排序的Kruskal(动态加边的最小生成树)
