BZOJ 2440: [中山市选2011]完全平方数 [容斥原理 莫比乌斯函数]

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,    T ≤ 50

---

 求第k个无平方因子数

二分这个数mid

小于sqrt(mid)的质数都可能成为平方因子,而一个数位平方因子数必定含有一个质数的组合(不一定是几个质数)的平方

根据容斥原理，[1,mid]中无平方因子数的个数为

 

• 0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)
• -每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...)
• +每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-...

 

 

也就是容斥原理的变种“奇负偶正”

对于质因子的组合p，它的倍数的个数为mid/(p*p)

只有质因子的次数都是1才会用到，正好是莫比乌斯函数.....

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50000;
inline int read(){
    char c=getchar();ll x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
bool notp[N];
int p[N],mu[N];
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-1;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N-1;j++){
            int t=i*p[j];
            notp[t]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[t]=0;
                break;      
            }
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
}
int cal(int x){
    int ans=0,m=sqrt(x);
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=x/(i*i)*mu[i];
    return ans;
}
int sol(){
    int l=n,r=n<<1,ans=-1;
    while(l<=r){
        ll mid=l+((r-l)>>1),sum=cal(mid);//printf("hi %d %d\n",mid,sum);
        if(sum<n) l=mid+1;
        else ans=mid,r=mid-1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    sieve();
    int T=read();
    while(T--){
        n=read();
        printf("%d\n",sol());
    }
}