BZOJ 1061: [Noi2008]志愿者招募 [单纯形法]【学习笔记看另一篇吧】
1061: [Noi2008]志愿者招募
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Description
Input
Output
仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。
Sample Input
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
Sample Output
HINT
1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。
很早之前就看过单纯形法了，(中午演讲时还讲过)
今晚重新看了一遍研究了一下实现
参考资料：
1.算法导论29章
2.http://blog.csdn.net/fuxey/article/details/51039914
3.http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/44310605
4.http://wenku.baidu.com/view/ce5784754a7302768f99391d
问题转化见下一篇吧 ，这里主要说一下单纯形法的实现问题
好吧现在已经第二天下午了......不是今晚
【理论罗列】：
1.标准型
m个约束 n个变量用x向量表示 A是一个m*n的矩阵 c是一个n的向量 b是一个m的向量
最大化 cx
满足约束 Ax<=b x>0
2.松弛型
基本变量 B |B|=m 一个约束对应一个 表示松弛量 叫做松弛变量(基本变量)
非基变量 N |N|=n
xn+i=bi-sigma{aijxj}>=0
3.替入变量 xe(非基变量)
替出变量 xl(基本变量)
4.可行解
基本解：所有非基变量设为0
基本可行解
5.单纯形法的过程中B和N不断交换，在n维空间中不断走
“相当于不等式上的高斯消元”
【代码实现】：
pivot是转动操作
基本思想就是改写l这个约束为xe作为基本变量，然后把这个新xe的值带到其他约束和目标函数中，就消去xe了
改写和带入时要修改b和a 目标函数则是 c和v
转动时l和e并没有像算法导论上一样a矩阵用了两行分别是a[l][]和a[e][]（这样占用内存大），而是用了同一行，这样a矩阵的行数=|B|，列数=|N|
也就是说，约束条件只用m个，尽管B和N不断交换，但同一时间还是只有m个约束(基本变量)n个非基变量
注意改写成松弛型后a矩阵实际系数为负
（一个优化 a[i][e]为0的约束没必要带入了
simplex是主过程
基本思想是找到一个c[e]>0的，然后找对这个e限制最紧的l，转动这组l e
注意精度控制eps
c[e]>eps
还有找l的时候a[i][e]>eps才行
【对偶原理】：
1.原始线性规划 对偶线性规划
2.对于
最大化 cx
满足约束 Ax<=b x>0
对偶问题为
最小化 bx
满足约束 ATx>=c x>0 （AT为A的转置）
可以转化很多问题来避免初始解不可行
【其他问题】：
1.一般不需要保存N和B集合
2.simplex过程依赖于线性规划是松弛型且初始解是可行的，我遇到的题目都是可行的
否则的话参见算法导论
3.Q：本题中x向量一定是整数，这难道不是整数线性规划吗？
A：我也有点玄乎，也许是因为b向量也是整数吧，不过没道理啊整数线性规划对偶性不一定成立，可能是数据弱吧，还请神犇指教
[update 2017-03-01]感谢$myx12345$在评论中指出全幺模矩阵，然后去查了查，发现了$VFK$$orzorzorz$的贴吧的回复
我来秀智商了…… 说从前有个线性规划 min c x^T Ax = b x >= 0 这里面A是矩阵，x、b、c都是向量 x^T表示转置 啊……我们假设以上出现的所有元素都是整数…… 那么Ax = b要是恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数是不是就超开心？ （假设是线性无关的） 根据那个啥法则，x_i = det(A_i) / det(A) det(A)表示A的行列式 A_i表示把A的第i列换为b之后的矩阵 如果det(A_i)恰好是det(A)的倍数那不就超开心？这样 但是现实是残酷的，往往这家伙会除出来小数，然后整数规划就坑爹了。 但是人类的智慧是无穷的！ 我们现在还是假定“恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数” 我们再加个限制：det(A) = 1或-1 就233了吧。 解一定是整数了。 于是可以顺利变为整数规划。我们把det(A) = 1, -1的矩阵称为幺模矩阵。 但是现实是残酷的，“恰好方程数等于未知数数，且解出来恰好为正数”往往不满足。 但是其实没关系。由于每个方程都对应着一个平面，所以解的空间是单纯形，最优解一定会出现在顶点上。 何为顶点？就是平面的交点。 何为平面？一共m + n个：Ax = b是m个方程，x = 0是n个方程。（本来是x >= 0，我们只靠虑切割空间的平面……） 要是顶点都是整点不是超开心？等价于从这m + n个方程中任取n个方程把它解掉得到的解是整数解。 通过前面的分析我们知道，如果恰好选取的这n个方程的系数矩阵的行列式值为1，-1就超开心了。当然要是行列式值为0对应着无解或无穷多解的情况，它又不是顶点管它做甚…… 考察系数矩阵 一个是A，好大好大 另一个是x = 0的系数，易知就是单位矩阵I 你从I中选哪几行……由于行列式的性质……一行*k加到另一行上去行列式的值不变，那么对应的未知数就会被干掉…… 所以等价于…… 从A中任意选取是一个子方阵，它的行列式的值只可能为1, -1, 0。 这样的矩阵我们称为全幺模矩阵。 番外篇： 1. 必要不充分：只含1，-1，0。因为单个元素可以看作行列式…… 2. 充分必要：对它进行高斯消元的主元操作……（好像叫转轴？啊反正就是消别人的未知数……），得来的还是全幺模矩阵……这个是因为那个啥啥幺模矩阵组成了一个乘法群？用这个性质我们可以不用double。 3. 您可以手工屠矩阵用定义证它是全幺模！ 4. 如果数学太差，您也可以写一个O(4^n * n^3)的强程序证它是全幺模！
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int M=10005,N=1005,INF=1e9; const double eps=1e-6; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();} return x*f; } int n,m; double a[M][N],b[M],c[N],v; void pivot(int l,int e){ b[l]/=a[l][e]; for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[l][j]/=a[l][e]; a[l][e]=1/a[l][e]; for(int i=1;i<=m;i++) if(i!=l&&fabs(a[i][e])>0){ b[i]-=a[i][e]*b[l]; for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j]; a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e]; } v+=c[e]*b[l]; for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) c[j]-=c[e]*a[l][j]; c[e]=-c[e]*a[l][e]; //swap(B[l],N[e]) } double simplex(){ while(true){ int e=0,l=0; for(e=1;e<=n;e++) if(c[e]>eps) break; if(e==n+1) return v; double mn=INF; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][e]>eps&&mn>b[i]/a[i][e]) mn=b[i]/a[i][e],l=i; if(mn==INF) return INF;//unbounded pivot(l,e); } } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ int s=read(),t=read(); for(int j=s;j<=t;j++) a[i][j]=1; b[i]=read(); } printf("%d",(int)(simplex()+0.5)); }
