BZOJ 1036: [ZJOI2008]树的统计Count [树链剖分]【学习笔记】

1036: [ZJOI2008]树的统计Count

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Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。 
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

 

---

 

学了一下树链剖分，感觉几月前的自己好弱，现在理解起来比较简单

一个链接

摘抄alpq654321课件上一些东西：

• 树链剖分，指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构（树状数组、SBT、SPLAY、线段树等）来维护每一条链。

• 第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]，以及每个点的父亲fa[x]。

• 第二遍dfs以根节点为起点，先dfs其儿子中size最大的儿子，相当于重边，之后dfs其它轻儿子。
• ž在dfs的过程中求出每个节点的dfs序以及沿着重链向根最远到达哪个点，每条重链的dfs序就相当于一段区间，树上问题转化为区间问题。
• 根据不同题目使用维护区间的数据结构即可。

• 每次要对一条链进行处理时，比较简单的做法是求出LCA后将其分为两条链。
• 对于每次操作，将当前点跳到其最远的重链祖先，这些点的dfs序是连续的，当做区间操作来处理。

性质：

• 对于所有轻边u,v。
• 有size[v]*2<size[u]。
• 因此对于任意一点开始到根为止，最多不超过lgn条轻边。
• 显然重链与轻边的条数同阶，因此也不超过lgn条重链。

一些注意：

1.每个节点属于一条重链

2.因为先走重链，所以他的dfs序构成线段（代码中用了tid 

   这个也是n

3.我的dfs第一次还处理了mx[u]，u的子节点size最大的

4.读入w的时候直接用了tid，建树的时候比较方便，要不然如果使用线段树build函数必须加一个fmp[x]表示tid为x的点的原编号[一定要分清哪个编号]

5.求lca就是交替走重链和轻边，选择deep[top[]]大的点走到fa[top[]]（过程中可以对重链操作），最后x和y在同一条重链上了，直接操作

 

[2016-12-31]一些新理解：

复杂度：每走一个轻边，size至少一倍(可以想想完全二叉树，那个正好一倍)，最多走logn次

完全二叉树才是logn，然后这样树高太小卡不住暴力，所以认为树剖的常数很小

链剖序同时是dfs序，但要注意重链先行

 一个小性质：除了最后的链，每个区间都是重链的一个前缀

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lc o<<1
#define rc o<<1|1
#define m ((l+r)>>1)
#define lson o<<1,l,m
#define rson o<<1|1,m+1,r
const int N=3e4+5,INF=1e9;
int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a,b,w[N],q;
char s[10];
struct edge{
    int v,ne;
}e[N<<1];
int h[N],cnt;
inline void ins(int u,int v){
    cnt++;
    e[cnt].v=v;e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt;
    cnt++;
    e[cnt].v=u;e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt;
}
int deep[N],size[N],fa[N],mx[N];
void dfs1(int u){
    size[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
        int v=e[i].v;
        if(v==fa[u]) continue;
        fa[v]=u;deep[v]=deep[u]+1;
        dfs1(v);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>size[mx[u]]) mx[u]=v;
    }
}
int tid[N],top[N],tot;
void dfs2(int u,int anc){
    if(!u) return;
    tid[u]=++tot;top[u]=anc;
    dfs2(mx[u],anc);
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
        if(e[i].v!=mx[u]&&e[i].v!=fa[u]) dfs2(e[i].v,e[i].v);
}

struct node{
    int sum,mx;
}t[N<<2];
void merge(int o){
    t[o].sum=t[lc].sum+t[rc].sum;
    t[o].mx=max(t[lc].mx,t[rc].mx);
}
void build(int o,int l,int r){
    if(l==r) t[o].sum=t[o].mx=w[l];
    else{
        build(lson);
        build(rson);
        merge(o);
    }
}
void change(int o,int l,int r,int p,int v){
    if(l==r) t[o].sum=t[o].mx=v;
    else{
        if(p<=m) change(lson,p,v);
        else change(rson,p,v);
        merge(o);
    }
}
int segsum(int o,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l&&r<=qr) return t[o].sum;
    else{
        int ans=0;
        if(ql<=m) ans+=segsum(lson,ql,qr);
        if(m<qr) ans+=segsum(rson,ql,qr);
        return ans;
    }
}
int segmx(int o,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l&&r<=qr) return t[o].mx;
    else{
        int mx=-INF;
        if(ql<=m) mx=max(mx,segmx(lson,ql,qr));
        if(m<qr) mx=max(mx,segmx(rson,ql,qr));
        return mx;
    }
}
int qmax(int x,int y){
    int mx=-INF;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        mx=max(mx,segmx(1,1,n,tid[top[x]],tid[x]));
        x=fa[top[x]];
    }
    if(tid[x]>tid[y]) swap(x,y);
    mx=max(mx,segmx(1,1,n,tid[x],tid[y]));
    return mx;
}
int qsum(int x,int y){
    int sum=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        sum+=segsum(1,1,n,tid[top[x]],tid[x]);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(tid[x]>tid[y]) swap(x,y);
    sum+=segsum(1,1,n,tid[x],tid[y]);
    return sum;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n-1;i++) a=read(),b=read(),ins(a,b);
    dfs1(1);dfs2(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) w[tid[i]]=read();
    
    build(1,1,n);//tot==n
    q=read();
    while(q--){
        scanf("%s",s);a=read();b=read();
        if(s[1]=='M') printf("%d\n",qmax(a,b));
        else if(s[1]=='S') printf("%d\n",qsum(a,b));
        else w[a]=b,change(1,1,n,tid[a],b);
    }
}