UVA11525 Permutation[康托展开 树状数组求第k小值]

UVA - 11525

Permutation

 题意：输出1~n的所有排列，字典序大小第∑k1Si∗(K−i)!个

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学了好多知识

 

1.康托展开

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!

其中a[i]为第i位是i往右中的数里 第几大的-1（比他小的有几个）。

其实直接想也可以，有点类似数位DP的思想，a[n]*(n-1)!也就是a[n]个n-1的全排列，都比他小

一些例子　http://www.cnblogs.com/hxsyl/archive/2012/04/11/2443009.html

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个 
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以 
有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

 

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2.树状数组求区间第k小

查了一堆资料，稍微有点明白了

 

用a[i]表示i出现次数，用一个树状数组c[]维护a[]

设第k小为x，那么sum(x)=k

我们的做法是用二进制反向构造x

cnt是当前x的排名(<=x的个数)

把x打成二进制，从高到低枚举(1<<i)，可以发现x加上(1<<i)后lowbit值是不断减小的(lowbit的定义是最右面1对应的值)

cnt加上新x的c值(这一块二进制加上的效果相当于让x在树状数组上跳了一下，结果也就是当前sum(x)的结果)

if(x>=n||cnt+c[x]>=k) 就不加了

这样就找到了最大的比x小的元素，++就行了

 

其实就记住，用二进制构造x-1,c数组类比着加就行了

二进制逼近，反向求和的过程

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+5,INF=1e6+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,x,k;
int c[N];
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
inline void add(int p,int v){
    for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;
}
inline int sum(int p){
    int res=0;
    for(;p>0;p-=lowbit(p)) res+=c[p];
    return res;
}
inline int kth(int k){
    int x=0,cnt=0;
    for(int i=16;i>=0;i--){
        x+=(1<<i);
        if(x>=n||cnt+c[x]>=k) x-=(1<<i);
        else cnt+=c[x];
    }
    return x+1;
}
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        n=read();
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            k=read()+1;
            x=kth(k);
            printf("%d%c",x,i==n?'\n':' ');
            add(x,-1);
        }
    }
}