NOIP2009Hankson 的趣味题[唯一分解定理|暴力]
题目描述
Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现
在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数 x 满足：
1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；
2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每
行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。
输出格式：
输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；
输入输出样例
2 41 1 96 288 95 1 37 1776
6 2
说明
【说明】
第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。
第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。
对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。
NOIP 2009 提高组 第二题
1.在线分解a0,a1,b0,b1的质因子，然后判断每个质因子有几种选择，乘法原理即可
首先，题目保证ea0>=ea1和eb0<=eb1
对于a0和a1，
ea0>ea1则ex0=ea1
ea0==ea1则ex0>=ea1
同样像b0和b1
判断的时候不用特别繁琐，可以简化一下，只处理不成立(*0)和多种选择的
2.暴力枚举b1的约数+各种优化
推导:
lcm(x,b0)=x*b0/gcd(x,b0)=b1 => b1*gcd(x,b0)=x*b0 => gcd(x,b0)=x*b0/b1 => gcd(b1/b0,b1/x)=1
优化一:gcd(a,b)=c -->gcd(a/c,b/c)=1
优化二:先判断整除
注意因子枚举到sqrt(b1)而不是sqrt(b1)+1，然后i和b1/i都要试试
//唯一分解定理 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <queue> using namespace std; const int N=50005; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();} return x*f; } int n,a0,a1,b0,b1,a,b,ans; int vis[N],p[N],cnt=0; void era(int n){ int m=sqrt(n)+1; for(int i=2;i<=m;i++) if(!vis[i]) for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=1; for(int i=2;i<=n;i++) if(!vis[i]) p[++cnt]=i; } void solve(int p){ int ea0=0,ea1=0,eb0=0,eb1=0; while(a0%p==0) ea0++,a0/=p; while(a1%p==0) ea1++,a1/=p; while(b0%p==0) eb0++,b0/=p; while(b1%p==0) eb1++,b1/=p; if(ea0==ea1&&eb0==eb1){ if(ea1<=eb1) ans*=eb1-ea1+1; else ans=0; }else if(ea0!=ea1&&eb0!=eb1&&ea1!=eb1) ans=0; } int main(int argc, const char * argv[]){ era(50000); n=read(); while(n--){ a0=read();a1=read();b0=read();b1=read(); ans=1; for(int i=1;i<=cnt;i++) solve(p[i]); if(b1!=1) solve(b1); printf("%d\n",ans); } return 0; }
//暴力 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <queue> using namespace std; const int N=50005; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();} return x*f; } int n,a0,a1,b0,b1,a,b; inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} inline int cal(int i){ if(i%a1) return 0; else return gcd(i/a1,a)==1&&gcd(b,b1/i)==1; } int main(int argc, const char * argv[]){ n=read(); while(n--){ a0=read();a1=read();b0=read();b1=read(); int ans=0,m=sqrt(b1); a=a0/a1,b=b1/b0; for(int i=1;i<=m;i++) if(b1%i==0){ ans+=cal(i); if(i*i!=b1) ans+=cal(b1/i); } printf("%d\n",ans); } return 0; }
