收集邮票 [概率]

失踪人口回归系列2333

当年学OI的时候还是在bzoj上做这道题，困扰了当时只会高中概率知识的我好长时间。

现在我学了概统了，可以吊锤这道题了！

设期望张数为 $X$ ，则答案为 $E(\frac{X+X^2}{2})=\frac{EX+EX^2}{2}$ ，需要计算 $EX$ 和 $EX^2$ 。

考虑已经有k-1种不同邮票，要买到第k种，就是有 $\frac{k-1}{n}$ 的概率失败 $\frac{n-k+1}{n}$ 的概率成功，是一个几何分布，所以可知 $X=X_1+X_2+…+X_n,\ X_k \sim G(\frac{n-k+1}{n})$ 。

对于几何分布 $X\sim G(p)$ ，有 $EX=\frac{1}{p}, \ var(X)=\frac{1-p}{p^2}$

所以， $EX=E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n EX_i = n\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$

\begin{aligned} E X^{2} & = E (\sum X_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} X_{i} X_{j}) \\ = \sum E X_{i}^{2} + \sum_{i \neq j} E (X_{i} X_{j}) \\ = \sum v a r (X_{i}) + (E X_{i})^{2} + \sum_{i \neq j} (E X_{i}) (E X_{j}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{2 n^{2}}{k^{2}} - \frac{n}{k}) + \sum_{i \neq j} \frac{n^{2}}{i j} \end{aligned}

$\begin{align*} EX^2 & = E(\sum X_i^2 + \sum_{i \neq j}X_i X_j) \\ &= \sum EX_i^2 + \sum_{i \neq j}E(X_i X_j)\\ &= \sum var(X_i)+(EX_i)^2 + \sum_{i \neq j}(EX_i)(E X_j)\\ &= \sum_{k=1}^n (\frac{2n^2}{k^2}-\frac{n}{k})+\sum_{i\neq j}\frac{n^2}{ij} \\ \end{align*}$

（由于 $X_i, X_j, i\neq j$ 独立，所以 $E(X_iX_j)=(EX_i)(EX_j)$

所以， $ans = n^2\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n \frac{1}{ij}$ ，完成了！

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int main() {
    cin >> n;
    double ans = 0, t = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        t += 1.0/i;
        ans += 1.0/i * t;
    }
    ans *= n*n;
    printf("%.2f", ans);
}