莫比乌斯反演 - 随笔分类 - Candy?

摘要："2627: JZPKIL" 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} (n, i)^{x} [i, n]^{y}, [i, n] = l c m (i, n)

$\sum_{i=1}^n (n,i)^x [i,n]^y,\ [i,n] = lcm(i,n)$

n \leq 10^{18}, x, y \leq 3000

$n \le 10^{18},\ x,y\le 3000$ 本题带来了一种新技巧，n太大，转化成一个积性函数然后求这个积性函数，质因子分解利用积性，这阅读全文

posted @ 2017-04-28 18:42 Candy? 阅读(911) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 3512: DZY Loves Math IV [杜教筛]

摘要："3512: DZY Loves Math IV" 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} φ (i j)

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \varphi(ij)$ ，

n \leq 10^{5}, m \leq 10^{9}

$n \le 10^5, m \le 10^9$ n较小，考虑写成前缀和的形式，计算

S (n, m) = \sum_{i = 1}^{m} φ (i n)

$S(n,m)=\sum_{i=1}^m \varphi(in)$ 一开始想阅读全文

posted @ 2017-04-17 20:09 Candy? 阅读(1732) 评论(0) 推荐(1) 编辑

51NOD 1584 加权约数和 [莫比乌斯反演转化 Trick]

摘要："1584 加权约数和" 题意：求

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} max (i, j) \cdot σ (i \cdot j)

$\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} {\max(i,j)\cdot \sigma(i\cdot j)}$ 多组数据

n \leq 10^{6}, T \leq 50000

$n \le 10^6, T \le 50000$ 这道题有两步我感到非常神奇。tls好强啊。首先，怎么处理$max(i,j 阅读全文

posted @ 2017-04-17 16:46 Candy? 阅读(417) 评论(0) 推荐(0) 编辑

51NOD 1227 平均最小公倍数 [杜教筛]

摘要："1227 平均最小公倍数" 题意：求

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} l c m (n, i)

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n lcm(n,i)$ 和的弱化版？ $$ ans = \frac{1}{2}((\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} d\cdot \varp 阅读全文

posted @ 2017-04-16 23:06 Candy? 阅读(387) 评论(0) 推荐(0) 编辑

51NOD 1220 约数之和 [杜教筛]

摘要："1220 约数之和" 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} σ_{1} (i j) ​

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)$ $$ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_ 阅读全文

posted @ 2017-04-16 15:53 Candy? 阅读(465) 评论(0) 推荐(0) 编辑

HDU 5608 function [杜教筛]

摘要："HDU 5608 function" 题意：数论函数满足

N^{2} 3 N + 2 = \sum_{d | N} f (d)

$N^2 3N+2=\sum_{d|N} f(d)$ ,求前缀和裸题…连卷上

1

$1$ 都告诉你了预处理

S (n)

$S(n)$ 的话反演一下用枚举倍数的方法 cpp include include include include include using 阅读全文

posted @ 2017-04-16 12:30 Candy? 阅读(466) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 4176: Lucas的数论 [杜教筛]

摘要："4176: Lucas的数论" 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} σ_{0} (i j)

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)$

n \leq 10^{9}

$n \le 10^9$ 代入

σ_{0} (n m) = \sum_{i ∣ n} \sum_{j ∣ m} [(i, j) = 1]

$\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]$ 反演得到 $$ \sum_{d=1}^n 阅读全文

posted @ 2017-04-16 11:04 Candy? 阅读(419) 评论(0) 推荐(0) 编辑

51NOD 1222 最小公倍数计数 [莫比乌斯反演杜教筛]

摘要："1222 最小公倍数计数" 题意：求有多少数对

(a, b) : a 然 后 又 用 分 块 的 方 法 算

$(a,b):a 然后又用分块的方法算$ g

， 预 处 理 前

$，预处理前$ O(n^{2/3})

的

$的$ \sigma

剩 下 的 分 块

$剩下的分块$ O({\sqrt{n}})

计 算 ， 复 杂 度 也 是

$计算，复杂度也是$ O(n^{\frac{2}{3}})$ 本机4.6s，改小预处理大小又T了... 最后还是用了ta 阅读全文

posted @ 2017-04-16 09:56 Candy? 阅读(630) 评论(0) 推荐(0) 编辑

51NOD 1238 最小公倍数之和 V3 [杜教筛]

摘要："1238 最小公倍数之和 V3" 三种做法！！！见 "学习笔记" ，这里只贴代码 1. cpp include include include include include using namespace std; typedef long long ll; const int N = 464 阅读全文

posted @ 2017-04-15 20:28 Candy? 阅读(257) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SPOJ DIVCNT2 [我也不知道是什么分类了反正是数论]

摘要："SPOJ DIVCNT2 Counting Divisors (square)" 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} σ_{0} (i^{2})

$\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^2)$ 好棒啊！带着平方没法做，考虑用其他函数表示

σ_{0} (i^{2})

$\sigma_0(i^2)$ ，把平方消去。 $\sigma_0(n) = (1 1)(n) = 阅读全文

posted @ 2017-04-15 17:46 Candy? 阅读(967) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛 [学习笔记]【更新中】

摘要：杜教筛嘟嘟嘟 "tangjz" orz "jiry_2" orz 任之洲 2016国家队论文 orz 概述前置技能： "莫比乌斯反演" 可以在

O (\frac{3}{4})

$O(\frac{3}{4})$ 或

O (\frac{2}{3})

$O(\frac{2}{3})$ 复杂度完成数论函数(前缀和)的计算一般形式数论函数

f (n)

$f(n)$ ，求 $$ S(n) 阅读全文

posted @ 2017-04-14 23:19 Candy? 阅读(2531) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 3944: Sum [杜教筛]

摘要："3944: Sum" 贴模板总结见学习笔记(现在还没写23333) cpp include include include include include using namespace std; typedef long long ll; define pii pair define fir 阅读全文

posted @ 2017-04-13 22:38 Candy? 阅读(368) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Sdoi2017]数字表格 [莫比乌斯反演]

摘要："[Sdoi2017]数字表格" 题意：求

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f [(i, j)]

$\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m f[(i,j)]$ 考场60分其实多推一步就~~推倒~~了... 因为是乘，我们可以放到幂上 $$ \prod_{d=1}^n \prod_{i=1}^{\frac{n}{d}}\pr 阅读全文

posted @ 2017-04-12 15:48 Candy? 阅读(265) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[容斥原理与莫比乌斯反演][学习笔记]

摘要：容斥原理与莫比乌斯反演今天(2.23.2017)翻了一下《组合数学》前6章，~~发现我之前一定是学了假的莫比乌斯反演~~，于是来新写一篇容斥原理定理集合

S

$S$ 中不具有性质

P_{i} : 1 \leq i \leq m

$P_i:1\le i \le m$ 的元素个数：

A_{i}

$A_i$ 为具有性质

P_{i}

$P_i$ 的集合 $ |S| \sum{|A_i 阅读全文

posted @ 2017-03-25 20:16 Candy? 阅读(5916) 评论(3) 推荐(9) 编辑

BZOJ 2694: Lcm [莫比乌斯反演线性筛]

摘要：题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i, j) : g c d (i, j) 是 s f 无 平 方 因 子 数

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m lcm(i,j)\ : gcd(i,j) 是sf 无平方因子数$ 无平方因子数？搞一个

μ (g c d (i, j))

$\mu(gcd(i,j))$ 不就行了..不对不对有正负，是

μ^{2}

$\mu^2$ 才行套路推♂倒 (ﾉ･ω･)ﾉ $$ \beg 阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:20 Candy? 阅读(558) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 4407: 于神之怒加强版 [莫比乌斯反演线性筛]

摘要：题意：提前给出

k

$k$ ，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} g c d (i, j)^{k}

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m gcd(i,j)^k$ 套路推♂倒

\sum_{D = 1}^{n} \sum_{d | D} d^{k} μ (\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D}

$\sum_{D=1}^n \sum_{d|D} d^k\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D}$ 是一个$g 阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:20 Candy? 阅读(411) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和 [莫比乌斯反演转化]

摘要：2015 题意：

d (i)

$d(i)$ 为i的约数个数，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i j)

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m d(ij)$

i j

$ij$ 都爆int了.... 一开始想容斥一下用

d (i)

$d(i)$ 和

d (j)

$d(j)$ 算

d (i j)

$d(ij)$ ，发现不行... 然后翻题解看到了一步好神的转化： $$ d(nm) 阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:19 Candy? 阅读(309) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 3309: DZY Loves Math [莫比乌斯反演线性筛]

摘要：题意：

f (n)

$f(n)$ 为n的质因子分解中的最大幂指数，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (g c d (i, j))

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$ 套路推♂倒

\sum_{D = 1}^{n} \sum_{d | D} f (d) μ (\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D}

$\sum_{D=1}^n \sum_{d|D} f(d)\mu(\frac{D}{d}) \frac{n}{D} \frac{m}{D}$ 这次函阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:18 Candy? 阅读(656) 评论(1) 推荐(0) 编辑

BZOJ 2693: jzptab [莫比乌斯反演线性筛]

摘要：题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i, j)

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j)$ 就是

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \frac{i j}{g c d (i, j)}

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac{i j}{gcd(i,j)}$ 套路推♂倒 $$ \begin{align } \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac{ 阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:18 Candy? 阅读(517) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集 [莫比乌斯反演]

摘要：题意：

(0, 0)

$(0,0)$ 到

(x, y), x \leq n, y \leq m

$(x,y),\ x \le n, y \le m$ 连线上的整点数

21

$2 1$ 的和

(0, 0)

$(0,0)$ 到

(a, b)

$(a,b)$ 的整点数就是

g c d (a, b)

$gcd(a,b)$ 因为...直线上的整点...扩展欧几里得...每

\frac{a}{d}

$\frac{a}{d}$ 有一个解，到

a

$a$ 你说有几个解... 套路推♂倒见学习笔阅读全文

posted @ 2017-03-24 15:17 Candy? 阅读(542) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Candy?

Nine point eight is my acceleration

随笔分类 - 莫比乌斯反演

公告

搜索

积分与排名

随笔分类 (3005)

随笔档案 (1025)

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论