欧拉函数
之前我们自学欧拉函数的时候，一直都是一脸懵逼的，可能是我智力的问题吧（我就是一个小小的蒟蒻），后来问了一些大佬，然后又不停的查百度才懂的。。。。（有问题，问度娘）
言归正传，现在开始讲欧拉函数：
序：欧拉函数实际上就是求一个数与他互质的数的个数（肯定要小于他自己啦！），我们表示为\(\varphi (n)\)
1.欧拉函数的通用公式就是：\(\varphi (n)=n*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})*...*(1-\frac{1}{pn})\)【pi为质数】
这个其实是可以理解的，我们已经知道：素数n的phi实际上就是n-1，为什么呢？因为除了他自己，其他比他小的数都与他互质嘛，其实这也是一个质数特性。然而1-1/pi其实就相当于分率，因为我们已知pi就是质数了，而质数的一大堆特性我们都可以搬过来用，pi只有他自己不与他互质，而剩下的就都与他互质啦！所以就是1-1/pi嘛，然后我们将所有的分率乘起来，最后再乘一个n，那么就是phi(n)啦！
当然介个也可以证明：我们令n=p*q，那么\(\varphi (n)=n-\frac{n}{q}-\frac{n}{p}+\frac{n}{q+p}\)
然后你再化简，就会得到\(\varphi (n)=n*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})*...*(1-\frac{1}{pn})\)
2.\(\varphi(n)=n-1\)【n为质数】
这个也是很好理解的，我上面已经讲了。
3.接着，我们设\(n={p}^k\)，也就是说n能分成若干个相同的数相乘，那么我们就开始来研究\(\varphi(n)\)吧！
首先\(\varphi(n)=\varphi(p^k)=n-\frac{n}{p}\)（因为n除了p的倍数，剩下的数都与他互质嘛，例如\(8=2^3\)，8除了2,4,6,8【我们这里暂且包括8，因为后面我们是用8来减得】，剩下的数都与他互质了呀！而p的倍数的个数就是\(\frac{n}{q}\)呀）=\(p^k- \frac{p^k}{p}=p^k-p^{(k-1)}\)
这里，我们两个式子都提取出\(p^{(k-1)}\)，然后就成为\(p^{(k-1)}*p-p^{(k-1)}*1\)，太好了，可以乘法分配律，就是\(p^{(k-1)}*(p-1)\)
这个式子很重要，后面的证明都需要！
4.啊哈，如果你看到这里并且很理解前面的公式的话，那么就恭喜你，你离成功已经很近了！
这里我们设a和b互质，事实证明\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
为什么捏？我们令\(n=p1^{a1}*p2^{a2}*....*pn^{an}\)【并且pi为质数】
∵\(\varphi(n)=n*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})*......*(1-\frac{1}{pn})\)【pi为质数】
∴原式=\((p1^{a1}*p2^{a2}*....*pn^{an})*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})*......*(1-\frac{1}{pn})\)
=\((p1^{a1}*p2^{a2}*....*pn^{an})*(p1-1)*(p2-1)*......*(pn-1)/(p1*p2*.....*pn)\)
=\([(p1-1)*p1^{(a1-1)}]*[(p2-1)*p2^{(a2-1)}]*.....*[(pn-1)*pn^{(an-1)}]\)
=\(\varphi(p1^{a1})*\varphi(p2^{a2})*....*\varphi(pn^{an})\)【根据上面3的公式】
这样我们就发现\(\varphi(p1^{a1})*\varphi(p2^{a2})*....*\varphi(pn^{an})=\varphi(p1^{a1}*p2^{a2}*....*pn^{an})\)
啊，太有趣了，那么也就是说：当几个数中相互互质的话，那么phi就是积性函数，所以就是上面的\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)【abs(a,b)=1】
5.最后一个公式了，恭喜你啊，你就要成功了!
当a mod b=0时，\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*b\)
这个很简单,可以证明：由上面所说，b并到其中一个\(b^x\)里面，那么\(\varphi(a)=\varphi(b^x)=(b-1)*b^{(x-1)}\)
然后\(\varphi(a*b)=\varphi(b^x*b)=\varphi(b^{(x+1)})=(b-1)*b^x\)
\((b-1)*b^{(x-1)}*b=(b-1)*b^x\)
∴\(\varphi(a)*b=\varphi(a*b)\)
奶思，成功啦，代码就是在线性素数上改一下：
当n为素数时，\(\varphi(n)=n-1\)
当a和b互质时，\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
当a mod b=0时，\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*b\)
你好，这里天殇
