P10194 [USACO24FEB] Milk Exchange G 题解

开始打比赛只剩 \(3\) h 了，晚了 \(1\) min 提交，痛失铂金……

洛谷传送门

题意

有长度为 \(n\) 的环形序列 \(a\)，初始时 \(b=a\)，每次操作令 \(b_i=\min(b_{i-1},a_i),\forall\ i \in [1,n]\)。

求前 \(n\) 次操作，每次操作后 \(b\) 数组的和。

思路

这里使用 3 8 9 2 5 4 7 1 6 这个样例来进行模拟。

由于奶牛是排成一圈的，所以可以将容量最小的奶桶轮换到第一个。此时，牛奶的量变为 1 6 3 8 9 2 5 4 7。

这时容易发现，第 \(i\) 个奶桶的牛奶量在 \(j\) 次操作后，会变成 \(\min\limits_{k=\max(i-j+1,1)}^i \{a_k\}\)。

这时候仍然不好观察，每次操作后每个奶桶的牛奶量变化，但是当我们把所有每次操作后牛奶量的表画出来时，就变得方便多了：

操作	\(\color{red}1\)	\(\color{purple}2\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{brown}4\)	\(\color{blue}5\)	\(\color{green}6\)	\(\color{gray}7\)	\(\color{orange}8\)	\(\color{pink}9\)
\(0\)	\(\color{red}1\)	\(\color{purple}6\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{brown}8\)	\(\color{blue}9\)	\(\color{green}2\)	\(\color{gray}5\)	\(\color{orange}4\)	\(\color{pink}7\)
\(1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{brown}8\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{orange}4\)	\(\color{orange}4\)
\(2\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{orange}4\)
\(3\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)
\(4\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)
\(5\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)
\(6\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{green}2\)	\(\color{green}2\)
\(7\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{green}2\)
\(8\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)	\(\color{red}1\)

可以发现，除了 \(1\) 号奶桶容量在表中构成了一个完整的三角形，其它奶桶容量都构成了一个平行四边形。我们要求的答案，就是每行数的总和。

对于 \(i\) 号桶对应的平行四边形，其对每一行产生的贡献，可以分为三段：一段公差为 \(a_i\) 的等差数列，一段公差为 \(0\) 的等差数列，一段公差为 \(-a_i\) 的等差数列。而区间加等差数列是一个十分经典的问题，两次差分即可解决，如果不会请出门右转 P4231 三步必杀。

显然，我们只要知道出 \(i\) 号桶对应平行四边形的底（\(a\)）和高（\(h\)），就能计算出要加的是哪三段等差数列。下面考虑平行四边形的底和高如何计算。我们用 \(i=3\) 号桶对应的平行四边形举例。

操作	\({}1\)	\({}2\)	\({}3\)	\({}4\)	\({}5\)	\({}6\)	\({}7\)	\({}8\)	\({}9\)
\(0\)	\({\color{blue}{\blacksquare}}1\)	\({}6\)	\({\color{purple}{\blacksquare}}\color{yellow}3\)	\({}8\)	\({}9\)	\({\color{orange}{\blacksquare}}2\)	\({}5\)	\({}4\)	\({}7\)
\(1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({\color{green}{\blacksquare}}\color{yellow}3\)	\(\color{yellow}3\)	\({}8\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}4\)	\({}4\)
\(2\)	\({}1\)	\({}1\)	\({\color{red}{\blacksquare}}1\)	\(\color{yellow}3\)	\(\color{yellow}3\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}4\)
\(3\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\(\color{yellow}3\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)
\(4\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)
\(5\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}2\)	\({}2\)	\({}2\)
\(6\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}2\)	\({}2\)
\(7\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}2\)
\(8\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)	\({}1\)

\[a=dis({\color{purple}{\blacksquare}},{\color{green}{\blacksquare}})=dis({\color{purple}{\blacksquare}},{\color{red}{\blacksquare}})-1=dis({\color{purple}{\blacksquare}},{\color{blue}{\blacksquare}})-1=i-pre_i=3-pre_3=2 \]

\[d=dis({\color{purple}{\blacksquare}},{\color{orange}{\blacksquare}})-1=nex_i-i=nex_3-3=3 \]

其中 \(pre_i\) 和 \(nex_i\) 分别表示在 \(i\) 之前最后一个小于等于 \(a_i\) 的下标，以及在 \(i\) 之后第一个小于 \(a_i\) 的下标。这两个数组可以通过单调栈求得。

理由也很好解释：\(i\) 号桶在 \(i-pre_i\) 次操作后，就只能剩下 \(a_{pre_i}\) 升牛奶；\(i\) 号桶的奶在传到 \(nex_i\) 时，就只能剩下 \(a_{nex_i}\) 升牛奶。

所以我们可以求出 \(i\) 号桶对应的底为 \(i-pre_i\)，对应的高为 \(nex_i-i\)。然后就能求出三个区间并进行区间加等差数列的操作。

这里有一个小细节：为什么 \(pre_i\) 算的是小于等于 \(a_i\)，而 \(nex_i\) 算的是小于 \(a_i\)。其实为了不重不漏地填数，两个必须是一个小于，一个小于等于。但由于我们开始时默认 \(1\) 号桶构成的是一个三角形，而如果 \(pre_i\) 算的是小于 \(a_i\)，那么若再碰到和 \(a_1\) 相等的 \(a_i\)，就会加上一个超出表格的梯形，并且还会重复加一个单元格，所以 \(pre_i\) 算的必须是小于等于。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;//不开 long long 见祖宗
const ll N=5e5+5;
ll n,a[N<<1];
ll pre[N],nex[N];
ll mi=1e9,mik;
ll st[N],r;
ll p[N];//差分数组
void change(ll l,ll r,ll x,ll d){//将从 l 到 r 的数加上以 x 为首项，d 为公差的等差数列
	if(l>r) return;
	ll y=x+(r-l)*d;
	p[l]+=x,p[l+1]-=x;
	p[l+1]+=d,p[r+1]-=d;
	p[r+1]-=y,p[r+2]+=y;
}
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	#endif
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i],a[i+n]=a[i];
		if(mi>a[i]) mi=a[i],mik=i;
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i+mik-1];//将最小值移到第一个

	r=0,st[r]=1;//单调栈求 pre 数组
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		while(r>=1&&a[st[r]]>a[i]) r--;
		pre[i]=st[r],st[++r]=i;
	}
	r=0,st[r]=n+1;//单调栈求 nex 数组
	for(ll i=n;i>=2;i--){
		while(r>=1&&a[st[r]]>=a[i]) r--;
		nex[i]=st[r],st[++r]=i;
	}

	change(1,n,a[1],a[1]);
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		ll A=i-pre[i],D=nex[i]-i;//平行四边形的底为 A，高为 D
		if(A<=D){//分类讨论
			change(1,A-1,a[i],a[i]);
			change(A,D,a[i]*A,0);
			change(D+1,A+D-1,a[i]*(A-1),-a[i]);
		}
		else{
			change(1,D,a[i],a[i]);
			change(D+1,A-1,a[i]*D,0);
			change(A,A+D-1,a[i]*D,-a[i]);
		}
	}

	for(ll i=1;i<=n;i++) p[i]+=p[i-1];//做两次前缀和还原数组
	for(ll i=1;i<=n;i++) p[i]+=p[i-1];
	for(ll i=2;i<=n;i++) cout<<p[i]<<"\n";
	cout<<p[n]<<"\n";//n 次操作后的结果和 n-1 次操作的结果相同
	return 0;
}

\(Updated\ on\ 2024\cdot 08\cdot 13\)：修改了代码放错的问题。