空间标量场可视化

空间数据(Spatial Data)指带有物理空间坐标的数据,其中标量场(Scalar Fields,密度场)指空间采样位置上记录单个标量的数据场。
一维标量场可视化
一维空间标量场是指沿着空间中某条路径采样得到的标量场数据。一维空间标量场数据通常可表达为一维函数,其定义域是空间路径位置或空间坐标的参数化变量,值域是不同的物理属性，如温度、湿度、气压、波长、亮度和电压漂移等。由于在数据采集时无法获取整个连续定义域内的数值，因此需要采用插值算法(如线性插值)重建相邻离散数据点之间的信号。

二维标量场可视化
二维空间标量场数据基本的可视化方法有颜色映射、等值线和高度图三类。
颜色映射
灰度映射和彩色映射统称为颜色映射(Color Mapping)，通过将每一标量值与一种颜色相对应，构建一张以标量值作为索引的颜色映射表。彩色映射通过色彩差异传递二维空间标量场数据的空间分布规律。当图像空间大于原始二维数据空间时，离散的二维空间标量场需要采用插值算法重建相邻数据点之间的数据(如双线性插值)，再将插值得到的数值映射为颜色。

等值线
等值线是可视化二维空间标量场的基本方法，如地图上的等高线、天气预报中的等压线和等温线等。假设f(x,y)是在点(xy)处的数值，等值线是在二维空间标量场中满足f(x,y)=c的空间点集按一定顺序连接而成的线。值为c的等值线将二维空间标量场分为两部分:若f(x,y)<c，则该点在等值线内;若f(x,y)>c，则该点在等值线外。移动四边形法(Marching Squares)的基本思想是逐个处理二维空间标量场的网格单元，插值计算等值线与该网格单元边的交点，根据网格单元上每个顶点与等值线的相对位置，按一定顺序连接这些交点,生成等值线。

高度图
高度图(Height Plot)将二维空间标量场转换为三维空间的高度网格，其中数据值被映射为第三个维度:高度
三维标量场数据可视化
三维数据场(3D Data Fields)是指分布在三维物理空间，记录三维空间场的物理化学等属性及其演化规律的数据场。三维数据场的获取方式分为两类:设备采集获取和计算模拟，如医学诊断设备 CT、MRI、PET等采集的三维影像，气象飓风仿真模拟产生的温度、三维数据场本质是一个对连续信号采样形成的离散数据场，其中每个采样点上的数据类型可分为标量(Scalar，例如强度、温度)、矢量/向量(Vector，例如风向、流向)和张量(Tensor,例如压力)三大类。

三维标量场数据最常用的三类可视化方法是:截面可视化、间接体绘制和直接体绘制。
间接体绘制和直接体绘制统称为体绘制其中,间接体绘制提取显式的几何表达(等值面、等值线、特征线等)，再用曲面或曲线绘制方法进行可视化，与之不同的是，直接体绘制并不构造中间几何图元，直接对三维数据场进行数据分类和颜色合成在屏幕上生成二维图像。整个流程包含一系列三维重采样、数据值到视觉属性(颜色和不透明度)的映射、三维空间向二维空间映射和图像合成等复杂处理

空间数据表达
空间网格形式
按照三维数据场的采样组织方式划分，三维数据场可分为有网格和无网格两类。前一类采用拓扑几何网格(即空间网格)刻画数据场采样的方式、采样点的位置、采样间距采样精度和采样粒度，并在各采样点或采样区间上记录数据场的值:后一类只记录数据场的采样点的位置和数值，称为无网格数据场。无网格数据场通常在空间采样分布不均匀
按照网格形态划分，采样空间网格可分为均匀网格、矩形网格/曲线网格、不规则网格等若干类
均匀网格：指沿三个正交轴按固定的间隔对三维空间进行各向同性或各向异性采样所生成的网格。若各个轴上的采样间隔固定且相同，则称为各向同性均匀网格，即笛卡尔网格;若单个轴上的采样间隔固定，但在不同轴上的采样间隔不等，则称为各向异性均匀网格，常见于医学诊断设备获取的三维医学影像数据。
矩形网格：采样方向沿三个正交轴进行，各个轴上的采样间隔自适应分布，即重要的区域对应在轴上的区间，具有高采样密度。
曲线网格：拓扑结构等价于矩形网格，但网格的边是曲线，可由矩形网格自由变形得到
不规则网格：采样单元可以是任意形状，例如四面体、六面体、八面体，支持空间的自适应剖分，主要用于有限元仿真、计算流体力学模拟等

均匀网格、非均匀网格和曲线网格统称为规则网格)，它们将空间剖分成规则排列的采样单元，每个单元称为体素(Voxel)。构建在规则网格上的数据场称为规则体数据。由于体素规则排列，规则体数据通常以三维数组形式存储和表示，体素之间的拓扑连接关系被隐式地定义在三维数组中:三维数组中(i,j,k)索引上的体素在X方向上相邻的体素为(i,j,k-1)和(i,j,k+1)索引上的体素。其中,曲线网格的采样点位置可以根据采样的曲线形式计算得到。
相应地，不规则网格采样得到的数据可以表达为点、线、面或不规则体等非规则描述,称为不规则体数据。不规则体数据采样单元之间的拓扑关系需要采用边表和面表显式地指定，数据结构较为复杂。
空间网格采样方式
点阵(Lattice)可以看成是周期性的采样模式，每个采样点具有相同的 Voronoi 单元(Cell)。常规的三维数据场采样方式是立方点阵，其基本单元是立方体，又分为简单点阵，即笛卡尔点阵、体中心立方点阵和面中心立方点阵三种

离散采样重建

假设原始的三维连续信号是有限带宽信号(信号存在最高频率)，根据Nyquist-Shannon采样理论，离散数据场的采样频率需要大于2倍的截止频率(信号最高频率),才能保证离散数据场可重构出原始的连续数据场。这是数据采集获取时或计算机模拟离散时需要满足的采样条件，即网格采样的密度要求。由于截止频率在三维空间上存在变化，自适应网格能够高效地采样连续数据场，这样既能保证采样得到的离散数据场能够重构出原始连续数据场，又不会大量增加三维数据场的数据量。

离散采样压缩
在三维数据场中，高频信号通常存在于局部空间范围内，其余部分数值变化平缓。因此，可通过压缩低频部分获得数据的压缩表达形式。典型的方法有小波变换、矢量量化和变换编码

空间数据特征计算
对离散采样的三维标量场可应用离散微分几何方法,计算与空间几何相关的特征信息,如梯度、拉普拉斯算子、曲率等。基于这些特征还可提取形状相关的特征线，并通过特征增强的方法抽象地展示特征的几何、拓扑和形状信息。
梯度是三维空间数据的一阶导数，有效地刻画了体素邻域数据值的变化情况，从而获得三维数据场中的边界区域。
二阶导数描述了梯度模在空间上的变化情况，三维标量场可视化主要采用沿梯度方向的二阶导数 

曲率描述了表面邻域法向的变化情况，刻画了表面的凹凸形状和表面变化缓急程度。

轮廓树通常通过合并不同方向扫描值域产生的连接树和分裂树，连接树和分裂树统称为合并树。连接树是从大到小扫描整个值域生成的。叶子节点对应于极大值点，随着等值逐渐变小，轮会在马鞍点发生合并，并最终消失在极小值点，即根节点。在大部分情况下，连接树能够捕捉比分裂树更多的变化，因此可以使用连接树表达标量场的大部分特征

 间接体绘制
间接体绘制是使用最广泛的三维标量场数据可视化经典方法之一，它利用等值面提取技术显式地获得特征的几何表面信息，并采用传统的曲面绘制技术直观地展现特征的形状和拓扑信息。其中的关键是等值面提取，指从三维标量场中抽取满足给定值条件的网格曲面，
移动立方体法逐一遍历三维规则三维规则标量场的最小单位体素(立方体)，生成立方体内部满足给定值条件的三角面片。在处理每个体素时，比较体素的8个顶点的值与给定阈值的大小关系，判断该立方体内部是否包含等值面。如果存在等值面，则根据相关边的两个端点的标量值计算等值面与该边的交点，按一定的规则连接每条边的交点形成一系列等值三角面。

几何空间法采用显式的几何计算快速判断体素是否与等值面相交，常用于规则体数据。常用的方法是采用八叉树(Octree)构建三维层次结构，去除与等值面不相交的体素。八叉树是一个树形层次结构，每个节点包含8个子节点，在构建过程中递归地将三维空间均分为8块，分割平面分别位于X、和Z轴的区间范围的中点，为了加速等值面提取，每个节点保存其对于体素集合的最小值a和最大值b。搜索与等值面相交的体素从根节点开始，判断所给的值c是否在节点的值域范围[a,b]内如果不在值域范围内，则说明该节点包含的体素与等值面不相交,无须继续与子节点判断:如果在值域范围内，则递归判断节点的8个子节点，直到等值面与节点不相交，或到叶节点为止。对于叶节点中的体素，每个体素通过移动立方体法构建等值面。基于八叉树的加速算法复杂度为 O(k+klogn/k)，其中”为体素数目，k为所提取的等值面数目

值域空间法可快速获得与等值面相交的体素，适用于规则与不规则体数据。

图像空间法
在绘制等值面三角网格时，很多三角形在屏幕空间上的投影范围小于一个像素范围，特别是从大规模三维标量场中提取的上百万个三角形。图像空间法致力于减少不可见等值面的搜索、提取和绘制时间。视点依赖的等值面提取算法98l 仅构建当前视点可见的等值面，有层次地从前往后遍历体素，忽略不可见的体素