「学习笔记」模拟费用流

学习自 cmd 老师的博客。

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昨天学习了模拟费用流相关内容阿。

常见的模拟费用流题大概会长成一个类似匹配的形状。主要的方法大概是两种：“增量-费用任意流” 模型或是直接模拟 EK 算法的增广过程。

“增量-费用任意流” 模型，即每次在图中增加一些点和边，求新的费用任意流。要注意，如果使用这种方法，那么每次除了讨论 $S$ 到 $T$ 的负路径之外，还需要考虑负环。注意到这里负环不可能长成 $S\to T\to S$ 的形状，因此每个负环的含义是一组匹配中的某一项元素发生了替换。把所有负路径和负环的含义写出来，然后使用堆等数据结构维护。

直接模拟 EK 算法的增广过程，即从整体考虑，每次找到 $S\to T$ 的最短路并更新状态，过程可能需要各种数据结构维护。注意在非增量费用流中，和 $S$、$T$ 相连的边不会退流，也不存在负环，每条增广路的含义是添加一对元素，然后可能和原来已经配对好的元素进行替换。因此另一种方式是，把所有增广路的含义写出来，然后使用堆等数据结构维护。

注意以下类型的题可能暗示该用哪种做法：

• 限制了流量 $k$，那么很可能是需要模拟 $k$ 次增广。当然也可能根据凸性 WQS 二分，然后用 “增量-费用任意流” 模型，但复杂度较高。
• 带修改，那么肯定是 “增量-费用任意流” 模型。但注意，如果要求每次加元素，然后求所有元素都被匹配的答案，由于必定满流，和 $S$ 相连的边不会退流，不会产生反向边。因此不存在新的环，于是只需考虑新增的源汇路。

不管是哪种方法，在具体的问题中很可能都还需要分析图或者匹配本身的性质。因为我既不懂费用流也不懂贪心，就不乱说话了。

上面的论述不保证是对的。其实还是要具体问题具体分析，具体的例子详见 cmd 老师的博客，懒得写了。就这样好了。