「学习笔记」Hall 定理

半年前我在 PKUSC2022 的赛场上，折戟沉沙。半年后，我没有从倒下的地方爬起。

我失败了。我还是以前的那个我。

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对于二分图 $G=(V,E)$，令 $N(v)$ 表示点 $v$ 的邻居集，则关于图 $G$ 的最大匹配我们有如下结论：

Hall 定理：设二分图 $G$ 的两部分分别为 $V_L,V_R$ 且 $|V_L|\le |V_R|$，则其存在一个大小为 $|V_L|$ 的匹配当且仅当 $\mathrm{\forall }S\subseteq V_L$，都有 $|S|\le |\bigcup _{v\in S}N(v)|$。

证明：

必要性：考虑反证，若存在 $S$ 使得条件不成立，那么考虑 $S$ 中所有点的匹配点，他们形成了一个大小为 $|S|$ 的点集，而它们必然在 $\bigcup _{v\in S}N(v)$ 中，这意味着一个子集的大小大于超集的大小，显然这不可能。

充分性：考虑归纳，这时有两种情况：

如果存在一个严格子集 $S$ 满足 $|S|=|\bigcup _{v\in S}N(v)|$，那么 $S$ 存在完备匹配。如果删去 $S,\bigcup _{v\in S}N(v)$ 后出现了不满足条件的集合 $T$，那么在原二分图中取子集 $S\cup T$，此时必然有 $|S\cup T|\le |\bigcup _{v\in S\cup T}N(v)|$，与题设矛盾，那么由归纳假设可得当存在 $|S|=|\bigcup _{v\in S}N(v)|$ 时 Hall 定理成立。

否则对于所有子集 $S$ 均有 $|S|<|\bigcup _{v\in S}N(v)|$，这时我们随便删掉一个点 $u\in V$ 及其邻边 $(u,v)\in E$，显然对于剩下的二分图，任意子集 $S$ 均有 $|S|\le |\bigcup _{v\in S}N(v)|$，根据归纳假设 Hall 定理成立。

综上可知 Hall 定理成立。

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Hall 定理有一个简单的推论：

推论 $1$：对于一个 $k$ 正则二分图（每个点度数都为 $k$，其中 $k\ge 1$），若其左右点数相等，那么其必有完美匹配。

证明：

假设存在一个子集 $S$ 不满足条件，那么 $|\bigcup _{v\in S}N(v)|$ 中所有点度数和不小于 $|S|\times k$。但由于 $|S|>|\bigcup _{v\in S}N(v)|$，因此这不可能。由此可知结论成立。

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我们还可以对 Hall 定理进行推广：

推论 $2$：设二分图 $G$ 的两部分分别为 $V_L,V_R$，则其最大匹配为 $|V_L|-\underset{S\subseteq V_L}{max}(|S|-|\bigcup _{v\in S}N(v)|)$。

变一下号可以得到它也等于 $\underset{S\subseteq V_L}{min}(|V_L|-|S|+|\bigcup _{v\in S}N(v)|)$。

证明：

对于子集 $S$，我们将 $V_L-S$ 和 $\bigcup _{v\in S}N(v)$ 中的点全部删除，显然剩下的 $S$ 和 $V_R-\bigcup _{v\in S}N(v)$ 中不存在边。由于删除的点至多产生 $|V_L|-|S|+|\bigcup _{v\in S}N(v)|$ 组匹配，因此最大匹配 $\le |V_L|-|S|+|\bigcup _{v\in S}N(v)|$。

另一方面，考虑取到最小值的 $S$，接下来我们证明这个上界可以取到：

若删除的点内部匹配显然无法达到上界，因此达到上界等价于 $S\to \bigcup _{v\in S}N(v)$，$(V_L-S)\to (V_R-\bigcup _{v\in S}N(v))$ 均存在完美匹配。结合 Hall 定理，我们考虑反证：

假设存在 $T\subseteq \bigcup _{v\in S}N(v)$ 使得 $|\bigcup _{v\in T}N(v)\cap S|<|T|$，取 $S^{\prime }=S-\bigcup _{v\in T}N(v)$，注意到 $\bigcup _{v\in S^{\prime }}N(v)\cap T=\varnothing$，则 $|\bigcup _{v\in S^{\prime }}N(v)|-|S^{\prime }|\le (|\bigcup _{v\in S}N(v)|-|T|)-(|S|-|\bigcup _{v\in T}N(v)\cap S|)<|\bigcup _{v\in S}N(v)|-|S|$。

假设存在 $T\subseteq V_L-S$ 使得 $|\bigcup _{v\in T}N(v)\cap (V_R-\bigcup _{v\in S}N(v))|<|T|$，取 $S^{\prime }=S\cap T$，则 $|\bigcup _{v\in S^{\prime }}N(v)|-|S^{\prime }|=(|\bigcup _{v\in S}N(v)|+|\bigcup _{v\in T}N(v)\cap (V_R-\bigcup _{v\in S}N(v))|)-(|S|+|T|)<|\bigcup _{v\in S}N(v)|-|S|$。

两种情况均与 $S$ 取到最小值矛盾，故结论成立。

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那么 Hall 定理有什么用呢？

对于一般的二分图而言，Hall 定理确有其局限性。但对于一些特殊的二分图，如果 $\bigcup _{v\in S}N(v)$ 具有很好的性质（例如连边是一个区间等等），Hall 定理则可以作为一些显式或隐式匹配问题的贪心策略依据。

一个例子是 JOISC 2022 Day3 T3。

另一种应用的方式是当点权有变量的时候，可以利用 Hall 定理将完备匹配的条件写成不等式，没准就能直接解出变量的范围了。

因为 NOI 至今还没考过这个所以考到的概率相对高一些（?），以后做题的时候要多加注意。