[学习笔记] 多项式多点求值与快速插值

不写代码。

多项式多点求值

给定一个 $n$ 次多项式 $f(x)$ ，对于 $i\in [1,m]$ 求出 $f(a_i)$ 。

做法

考虑分治，设 $L(x)=\prod _{i=1}^{\frac{n}{2}}(x-x_i)$，$R(x)=\prod _{i=\frac{n}{2}+1}^n(x-x_i)$，那么对于 $i\in [1,\frac{n}{2}]$，$F(x_i)=(F\mathrm{mod}L)(x_i)$，对于 $i\in (\frac{n}{2}+1,n]$，$F(x_i)=(F\mathrm{mod}R)(x_i)$。多项式取模即可，每次的 $L(x)$ 和 $R(x)$ 可以分治 NTT 预处理。时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

多项式快速插值

给出 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$，求一个 $n-1$ 次的多项式 $f(x)$，使得 $f(x_i)\equiv y_i(\mathrm{mod}998244353)$。

做法

考虑拉格朗日插值：

$$F(x)=\sum _{i=1}^n\frac{\prod _{j\ne i}(x-x_j)}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}{y}_i$$

分母是一个常数，设 $p(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)$，那么对于每个 $i$，分母相当于 $\frac{p(x)}{x-x_i}$ 代入 $x=x_i$ 后的值，但这是未定义的。不过根据洛必达法则，它的值即为 $p^{\prime }(x_i)$，于是我们可以先用分治 NTT 算 $p(x)$，求导算出 $p^{\prime }(x)$，然后多点求值求出每个 $i$ 对应分母的值。

于是 $F(x)=\sum _{i=1}^n\prod _{j\ne i}(x-x_j)\frac{y_i}{p^{\prime }(x_i)}$，分治处理：设 $L(x)=\prod _{i=1}^{\frac{n}{2}}(x-x_i)$，$R(x)=\prod _{i=\frac{n}{2}+1}^n(x-x_i)$，于是

$$F(x)=R(x)\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}}\frac{y_i}{p^{\prime }(x_i)}\prod _{j=1}^{\frac{n}{2}}[j\ne i](x-x_j)+L(x)\sum _{i=\frac{n}{2}+1}^n\frac{y_i}{p^{\prime }(x_i)}\prod _{j=\frac{n}{2}+1}^n[j\ne i](x-x_j)$$

递归计算即可，每次的 $L(x)$ 和 $R(x)$ 可以分治 NTT 预处理。时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。