[学习笔记] 多项式拉格朗日反演与复合逆

不会多项式。

多项式复合函数

讲复合逆之前，先讲讲复合函数。这个问题是说，给定一个 $n$ 次多项式 $F(x)$，和一个 $m$ 次多项式 $G(x)$，你需要求一个 $n$ 次多项式 $H(x)$ ，满足条件：

$$H(x)\equiv F(G(x))(\text{mod }{x}^{n+1})$$

换种说法，你要求的多项式应满足：

$$H(x)\equiv \sum _{i=0}^n[x^i]F(x)\times G(x{)}^i(\text{mod }{x}^{n+1})$$

做法

令 $B=\sqrt{n}$。类似 BSGS：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^n[x^i]F(x)G(x{)}^i& =\sum _{i=0}^{B-1}\sum _{j=0}^{B-1}[x^{iB+j}]F(x)G(x{)}^{iB+j}\\ & =\sum _{i=0}^{B-1}G(x{)}^{iB}\sum _{j=0}^{B-1}[x^{iB+j}]F(x)G(x{)}^j\end{array}$$

预处理出所有 $G(x{)}^j$ 及 $G(x{)}^{iB}$，这部分用 NTT 计算。然后对于 $\sum _{j=0}^{B-1}[x^{iB+j}]F(x)G(x{)}^j$ 我们暴力计算，最后乘上 $G(x{)}^{iB}$ 即可。总时间复杂度 $O(n^2+n\sqrt{n}\log n)$。

拉格朗日反演

现在我们讲讲复合逆。拉格朗日反演可以在 $O(n\log n)$ 的时间求 $[x^n]G(x)$，其中 $G(x)$ 满足 $F(G(x))=x$，$F(x)$ 是已知的多项式，并且 $[x^0]F(x)=[x^0]G(x)=0$，$[x^1]F(x)\ne 0$，$[x^1]G(x)\ne 0$。$G(x)$ 也被称为 $F(x)$ 的复合逆。

引理：若 $F(G(x))=x$，那么 $G(F(x))=x$。
证明：记 $\mathbb{R}[[x]{]}_{+}$ 为常数项为零且一次项非零的 $\mathbb{R}$ 上形式幂级数。我们知道函数的复合是定义在形式幂级数环 $\mathbb{R}[[x]]$ 上的二元运算，即 $(F\circ G)(x)=F(G(x))$，其封闭性与结合性显然，所以构成半群。但 $\mathbb{R}[[x]{]}_{+}$ 具有更好的性质，下面我们将证明它在函数复合运算上构成群。引理等价于 $G(x)$ 的左逆元等于右逆元，只要单位元 $ϵ$ 同时是左幺元和右幺元，并且左右逆元都存在时，便有如下性质：设 $\alpha$ 存在左逆元 $l$ 和右逆元 $r$，则 $l=l(\alpha r)=(l\alpha )r=r$。显然 $\mathbb{R}[[x]{]}_{+}$ 的单位元 $ϵ(x)=x$ 满足性质，因此我们只需证明 $G$ 的右逆元存在。使用待定系数法容易说明对于任意 $A(x),B(x)\in \mathbb{R}[[x]{]}_{+}$，方程 $A(\delta (x))=B(x)$ 在 $\delta (x)\in \mathbb{R}[[x]{]}_{+}$ 存在唯一解，因此 $G(x)$ 的右逆元一定存在。这就证明了结论。

令 $G(x)=\sum _{i=1}^n{g}_i{x}^i$，代入 $G(F(x))=x$ 得：

$$\sum _{i=1}^n{g}_i\times F(x{)}^i=x$$

两边同时求导：

$$\sum _{i=1}^{n}i{g}_{i}F(x{)}^{i-1}{F}^{\prime }(x)=1$$

我们只关注 $n$ 次项，将它提出：

$$n{g}_{n}F(x{)}^{n-1}{F}^{\prime }(x)+\sum _{i=1}^{n-1}i{g}_{i}F(x{)}^{i-1}{F}^{\prime }(x)=1$$

两边同时除以 $F(x{)}^n$ 得：

$$n{g}_n\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}+\sum _{i=1}^{n-1}i{g}_{i}F(x{)}^{i-n-1}{F}^{\prime }(x)=\frac{1}{F(x{)}^n}$$

注意到 $F(x{)}^k$ 是 D-finite 的，对它求导得到 $(F(x{)}^k{)}^{\prime }=kF(x{)}^{k-1}{F}^{\prime }(x)$，即 $F(x{)}^k{F}^{\prime }(x)=\frac{(F(x{)}^{k+1}{)}^{\prime }}{k+1}$，代入上式：

$$n{g}_n\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}+\sum _{i=1}^{n-1}{g}_i\frac{i}{i-n}(F(x{)}^{i-n}{)}^{\prime }=\frac{1}{F(x{)}^n}$$

不要忘记我们的目标是求出 $g_n$，现在我们想办法把其他的系数全部消去。注意到，对于任意一个整系数多项式，其求导后 $-1$ 次项的系数一定为 $0$，因此我们将等式两边同时取 $-1$ 次项：

$$[x^{-1}]n{g}_n\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}=[x^{-1}]\frac{1}{F(x{)}^n}$$

对于等式右边：

$$[x^{-1}]\frac{1}{F(x{)}^n}=[x^{n-1}]\frac{x^n}{F(x{)}^n}=[x^{n-1}]\frac{1}{(\frac{F(x)}{x}{)}^n}$$

对于等式左边：

$$\begin{array}{rl}\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}& =\frac{f_1+2f_{2}x+3f_3{x}^2+\cdots +n{f}_n{x}^{n-1}}{f_{1}x+f_{2}x+\cdots +f_n{x}^n}\\ & =\frac{f_1+2f_{2}x+3f_3{x}^2+\cdots +n{f}_n{x}^{n-1}}{f1x(1+\frac{f2}{f1}x+\cdots +\frac{f_n}{f_1}{x}^{n-1})}\end{array}$$

令

$$p(x)=(1+\frac{f2}{f1}x+\cdots +\frac{f_n}{f_1}{x}^{n-1}{)}^{-1}$$

则

$$\begin{array}{rl}\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}& =\frac{f_1+2f_{2}x+3f_3{x}^2+\cdots +n{f}_n{x}^{n-1}}{f_{1}x}p(x)\\ & =(x^{-1}+\frac{2f_2}{f_1}+\frac{3f_3}{f_1}x+\cdots +\frac{n{f}_n}{f_1}{x}^{n-2})p(x)\end{array}$$

由于 $[x^0]p(x)=1$，于是

$$[x^{-1}]\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}=1$$

于是

$$n{g}_n=[x^{n-1}]\frac{1}{(\frac{F(x)}{x}{)}^n}$$

即

$$g_n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\frac{1}{(\frac{F(x)}{x}{)}^n}$$

多项式快速幂 + 多项式求逆即可。

扩展拉格朗日反演

扩展拉格朗日反演可以在 $O(n\log n)$ 的时间求 $[x^n]G(x)$，其中 $G(x)$ 满足 $F(G(x))=H(x)$，$F(x)$ 和 $H(x)$ 是已知的多项式。推导过程和拉格朗日反演完全一致，因此这里不再赘述了。结果是：

$$g_n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\frac{H^{\prime }(x)}{(\frac{F(x)}{x}{)}^n}$$

事实上，可以认为拉格朗日反演是扩展拉格朗日反演中 $H(x)=x$ 的一种特殊情况。

多项式复合逆

令 $n-1$ 次多项式 $F(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$。给定 $n$ 和 $F(x)$ 的各项系数，要求一个 $n-1$ 次多项式 $G(x)$ 满足：

$$G(F(x))\equiv x(\mathrm{mod}{x}^n)$$

做法

上面提到的拉格朗日反演公式可以求出 $G(x)$ 的一项系数，但现在我们要求所有系数。按照求多项式复合的方式做，令 $B=\sqrt{n}$：

$$\begin{array}{rl}G(x)& =\sum _{i=1}^n(\frac{1}{i}[x^{i-1}]\frac{1}{(\frac{F(x)}{x}{)}^i})x^i\\ & =\sum _{i=0}^{B-1}\sum _{j=1}^B(\frac{1}{iB+j}[x^{iB+j}]\frac{1}{(\frac{F(x)}{x}{)}^{iB+j}})x^{iB+j}\\ & =\sum _{i=0}^{B-1}\sum _{j=1}^B(\frac{1}{iB+j}[x^{iB+j}](\frac{x}{F(x)}{)}^{iB}(\frac{x}{F(x)}{)}^j)x^{iB+j}\end{array}$$

预处理出所有 $(\frac{x}{F(x)}{)}^{iB}$ 及 $(\frac{x}{F(x)}{)}^j$，这部分用 NTT 计算。计算 $[x^{iB+j}](\frac{x}{F(x)}{)}^{iB}(\frac{x}{F(x)}{)}^j$ 这部分相当于给两个多项式，求出他们乘积的某一项系数，直接暴力即可。总时间复杂度 $O(n^2+n\sqrt{n}\log n)$。