交叉熵理解

熵

 考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(x_i)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p(C))=2.30

 

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

 其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

 然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

相对熵（KL散度）

 相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1] 直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

 KL散度的计算公式：

n为事件的所有可能性。D_KL的值越小，表示Q分布和P分布越接近

交叉熵

 对式上述变形可以得到：

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，由于KL散度中的前一部分−H(y)（熵）不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

 

tensorflow实现交叉熵

    def _cross_entropy(y, y_pred):
        """
        calculate cross entropy
        :param y: true label, one hot
        :param y_pred: predicted
        :return: loss
        """
        loss = -tf.reduce_mean(y * tf.log(tf.clip_by_value(y_pred, 1e-5, 1.0))) # tf.clip_by_value, prevent loss Nan

        return loss