泰勒展开式

泰勒展开式核心思想是仿照

当我们想要仿造一个东西的时候，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。

由来

一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：

一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：

物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。

既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：

既然想模仿刚才那辆车，

那首先应该保证初始位置一样，

继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，

不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，

不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，

不满足，精益求精，可以一直模仿下去。

物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。

一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 $y=e^{x}$ ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 $y=cosx$ 后，我无法很方便地计算 $x=2$ 时候的值。

为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即把这类函数替换掉。

可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。

他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）

面对 $f(x)=cosx$ 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 $g(x)$ ，从而避免余弦计算。

想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。

由于这段曲线过 $(0，1)$ 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，

完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。

经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。

起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……”

推导

下面就是严谨的计算了。

先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 $(0,1)$ 这个点入手。

把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：

首先得让其初始值相等，即： $g(0)=f(0)$

其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： $g^{'}(0)=f^{'}(0)$

再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： $g^{''}(0)=f^{''}(0)$

……

最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。

这时候，泰勒思考了两个问题：

1. 余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 $g(x)$ 必须也能够无限次求导，那 $g(x)$ 得是什么样类型的函数呢？

2. 实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？

综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 $g(x)$ 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 $g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。

泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。

先算个一阶的。

可以看出，除了在 $(0,1)$ 这个点，其他的都不重合，不满意。

再来个二阶的。

可以看出，在 $(0,1)$ 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。

再来个四阶的。

可以看出，仍然是在 $(0,1)$ 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。

到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。

然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 $cos2$ 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 $（0，1）$ 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 $x=2$ 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 $x=2$ 处。