微积分

导数

对于定义域和值域都是实数域的函数f : R → R，若f(x) 在点x0 的某个邻域Δx 内，极限

存在，则称函数f(x) 在点x0 处可导，f′(x0) 称为其导数，或导函数，也可以记为

给定一个连续函数，计算其导数的过程称为微分（Differentiation）。微分的逆过程为积分（Integration）。函数f(x) 的积分可以写为

 

其中F(x) 称为f(x) 的原函数。

若函数f(x) 在其定义域包含的某区间内每一个点都可导，那么也可以说函数f(x) 在这个区间内可导。如果一个函数f(x) 在定义域中的所有点都存在导数，则f(x) 为可微函数（Differentiable Function）。可微函数一定连续，但连续函数不一定可微。例如函数|x| 为连续函数，但在点x = 0 处不可导。

 

高阶导数

对一个函数的导数继续求导，可以得到高阶导数。函数f(x) 的导数f′(x) 称为一阶导数，f′(x) 的导数称为二阶导数，记为f′′(x) 或

 

偏导数

对于一个多变量函数f : R^d → R，它的偏导数（Partial Derivative ）是关于其中一个变量x_i 的导数，而保持其他变量固定，可以记为f′_xi (x)，∇_xif(x)，

 

 导数法则

加法和乘法法则

 

链式法则

 

 

常见函数的导数

向量函数及其导数

按位计算的向量函数及其导数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Logistic 函数

Logistic 函数是一种常用的S形函数，是比利时数学家Pierre François Verhulst在1844-1845 年研究种群数量的增长模型时提出命名的，最初作为一种生态学模型。

Logistic 函数定义为：

这里exp(·) 函数表示自然对数，x0 是中心点，L是最大值，k 是曲线的倾斜度。图B.2给出了几种不同参数的logistic 函数曲线。当x 趋向于−∞时，logistic(x)接近于0；当x 趋向于+∞时，logistic(x) 接近于L.

当参数为(k = 1, x0 = 0,L = 1) 时，logistic 函数称为标准logistic 函数(sigmoid)，记为σ(x)。

 

标准logistic 函数在机器学习中使用得非常广泛，经常用来将一个实数空间的数映射到(0, 1) 区间。

标准logistic 函数的导数为

当输入为K 维向量x = [x₁, · · · , x_K]^T 时，其导数为

注意：

1. 如果神经网络不加激活函数相当于：y=ax+b，导数为常数

2. sigmoid函数求导出来是一个矩阵，但是因为变量也是一个矩阵，所以可以进行权值更新

 

softmax 函数

softmax 函数是将多个标量映射为一个概率分布。对于K 个标量x₁, · · · , x_K，softmax 函数定义为

这样，我们可以将K 个变量x₁, · · · , x_K 转换为一个分布：z₁, · · · , z_K，满足

当softmax 函数的输入为K 维向量x 时，

其中，1_K = [1, · · · , 1]_K×1 是K 维的全1 向量。

其导数为