并查集+最小生成树 学习笔记

图论系列：

前言：

咲いた野の花よ
ああどうか教えておくれ
人は何故傷つけあって
争うのでしょう

相关题单：

题单1 讲解
题单2 讲解
题单3 讲解
题单4 讲解

终于补全了，┭┮﹏┭┮。

一.并查集

1.基础定义与操作

（1）定义

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。

（2）操作

合并（merge）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
查询（find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合

并查集在经过修改后可以支持单个元素的删除、移动；使用动态开点线段树还可以实现可持久化并查集。

2.算法流程：

在并查集中，我们将一个个元素看成一个个点，将逻辑所属关系转化为图上的连通性问题。

（1）初始化

一开始每一个元素都属于一个单独的集合，将元素看作点，相当于现在有很多个只有根节点的树。方便起见，我们将根节点的父亲设为自己。（如图）

代码：

	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;

（2）查询

查询很简单，由于我们记录了每个点的父亲节点（而根节点的父亲就是自己），那么我们就一直跳父亲直到跳到一个点满足 $f{a}_x=x$。

如图，对于点 5 ，$f{a}_5=2$ ，于是跳到点 2，$f{a}_2=1$，于是跳到点 1，$f{a}_1=1$，满足 $f{a}_x=x$ 的要求，于是点 5 就属于 1 所在的这个集合。

代码：

inline int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) return find(fa[x]);//当前不是根节点就跳根节点
	return fa[x];//说明是根节点了，x=fa[x]，返回的实际上就是根节点
}	

（3）合并

对于两个点 $x,y$，我们现在需要合并其所在的两个集合。由于每个点所在的集合实际上是由点所在树的根决定的，如果 $roo{t}_x=roo{t}_y$，那么就说明 $x,y$ 已经在同一个集合内了，反之两点不在一个集合，此时只需将其中一个点的根的父亲设为另一个点的根，即 $f{a}_{roo{t}_x}=roo{t}_y$ 。

这个时候我们再去判断原本属于 $roo{t}_x$ 所在的集合的点，它们肯定都会先跳到 $roo{t}_x$，而此时 $f{a}_{roo{t}_x}=y$，于是这些点的根就成功的转化为了 $roo{t}_y$ ，原本 $roo{t}_y$ 所在的点的根自然也是 $roo{t}_y$ ，于是就完成了合并。

如上图，现在我们要合并 5 所在的集合与 9 所在的集合。首先找到经过跳父亲找到 $roo{t}_5=1,roo{t}_9=7$，然后再把 $f{a}_7$ 改为 $1$，相当于就是连了一条 $1\to 7$ 的无向边，于是两个集合就成功合并了。（如下图）

代码：

inline void merge(int x,int y)
{
	x=find(x),y=find(y);//找到两点的根节点
	if(x==y) return ;//如果已经在一个集合内了就不管
	fa[x]=y;//否则将其中一个根节点的父亲设为另一个点的根节点
} 

（4）路径压缩

但是暴力跳父亲明显存在一定的问题，比如对于一条长为 $n$ 的链，如果查询链尾的根节点，那么要跳 $n$ 次，这样时间复杂度极高。

考虑优化。首先对于从链尾到根节点路径上经过的所有点，肯定都是属于根节点代表的这个集合内的，那么每次跳父亲也太费劲了。在查询的过程中，由于需要一层一层的跳父亲，于是通过递归，找到根节点之后，将路径上所有点的父亲都设为根节点，这样以后查询就只需要跳一次了。

优化过后的并查集时间复杂度是反阿克曼函数，将当作一个较小的常数即可。

如上图，现在我们用路径压缩来查询 9 节点的根节点，跳父亲就是 $9\to 8\to 7\to 1$，然后递归回来就是 $f{a}_7=f{a}_8=f{a}_9=1$。（如下图）

代码：

inline int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];//如果当前是根节点，那么返回的就是根节点，如果不是（因为上面那句没有加 return ），所以路径上的所有点都会遍历这一句，此时fa[x]都被修改为根节点了，所以返回的还是根节点
}

（5）启发式合并

由于得知了并查集找根的实质与路径压缩的优化过程，所以对于一个集合代表的树，树高越小时间复杂度自然越小。对于两个集合，那么元素个数小的集合合并到元素个数大的集合时间复杂度会更优（学术上有证明，真的跑的很快，后面会介绍树上启发式合并）。

代码：

//查询的代码不变，多维护一个siz数组
inline void merge(int x,int y)
{
	x=find(x),y=find(y);
	if(x==y) return ;
	if(siz[x]>siz[y]) swap(x,y); 
	fa[x]=y,siz[y]+=siz[x];//保证是小集合合并到大集合，同时记录当前集合的大小
}

	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,siz[i]=1;//初始化每个集合大小为1

（6）删除

这个很牛啊，想了很久，结果有板子题。

对于删除单点 $x$，我们想到的第一个方法肯定是把 $x$ 的父亲指向自己。但是这样会把 $x$ 的下属也跟着脱离出来，这明显错了。

既然直接改变 $x$ 点的父亲行不通，那把原先的 $x$ 点留在那儿，成为一个虚点。然后我们再建立一个新的点 $y$ 成为真正的 $x$ 点，这样 $x$ 的下属找祖宗的时候就可以正常经过虚点，但我们实际的 $x$ 却在 $y$。

但是这里又产生了第二个问题：我怎么才能知道真正的 $x$ 点在哪？

当然在 $y$ 啦，记录一下每个点真实所在下标即可。对于一个 $fa$ 数组， $f{a}_{1\sim n}$ 存真实点的下标，而真实点从 $n+1$ 开始用（相当于我们钦定点 $1$ 真实在 $n+1$,点 $n$ 真实在 $2n$）。

于是初始化的时候 $f{a}_i=n+i,1\le i\le n$，$f{a}_i=i，n+1\le i\le 2\ast n+q$（第二个式子是因为真实点的 $f{a}_i=i$，而操作最多 $q$ 次，最多会用到 $2\ast n+q$ 个点）。

那么删除的时候就非常简单了，初始化 $num=2\ast n$，表示当前用到哪个点了。那么删除一个点 $x$ 时，只用将 $f{a}_x=++num$ 即可。

可能有点抽象，画图理解，对于上图删去点 2（红色值表示的就是 $f{a}_i$ 的值，此时 $num=12$），$f{a}_2=13$ （$x$ 表示当前这里是个虚点）。此时查询点 4，它还是在集合 1 中。（如下图）

除了初始化，其余操作代码均不变。

（7）移动

将某个元素移动到另一个集合去。显然的，删了以后再加不久行了。

（8）带权/拓展域

带权并查集，这个在例题里结合来讲可能会清晰一点。

3.应用

我觉得 oi wiki 的专题已经比较全面了，其他的可能结合后面的题加深对一些并查集套路的理解。

https://oi-wiki.org/topic/dsu-app/

二.最小生成树

这里讨论的都是无向图连通图内的最小生成树，有向图最小生成树是最小树形图，以后可能会写吧。

1.相关定义

生成树：对于连通图，形态是一棵树的生成子图称为生成树。（所以生成树是一颗连通了图上所有点的树。非连通图不存在生成树。）

生成森林：由每个连通分量的生成树组成的子图称为 生成森林。

非树边：对于某棵生成树，原图的不在生成树上的边称为非树边。

给定一张带权连通图，求其边权和最小的生成树，称为 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）。对于非连通图，对每个连通分量求最小生成树即得最小生成森林。

2.算法

最小生成树常见有三种（Kruskal，Prim与Boruvka）求法，其实只用学 Kruskal 与 Boruvka 就可以了（毕竟 Kruskal 后面有 Kruskal 重构树，Boruvka 可以解决一些特殊图）。

理解 Kruskal 实际上就是按边权大小从小到大排序之后，使用并查集维护当前边连接的两点是否已经在同一个集合内了，如果在就跳过，不在就加入这条边，然后在并查集中将这两点合并起来。

我好懒啊，其实算法挺简单的，oiwiki 这部分写的挺全面的 https://oi-wiki.org/graph/mst

主要是 oiwiki 上的动图比较形象。

至于第 $k$ 小限制生成树，最小度限制生成树这些论文科技还是等我还能走下去再讲吧。

练习题：

题单1 题单2 题单3 题单4