从组合数说开去

组合数\[C_{n}^{r}=\frac{n!}{r!\left( n-r \right)!}\]是计数的时候引入的，这个数必然是整数，这是显然的。

但表达式$\frac{n!}{r!\left( n-r \right)!}$ 为什么一定是整数呢？答案却没有那么显然。

\[\frac{n!}{r!\left( n-r \right)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)(n-r)!}{r!\left( n-r \right)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)}{r!}\]由组合的意义知 $n-r\ge 0$，如果我们令 $k=n-r$，那么可以写为

\[\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+r)}{r!}\] ，如果我们证明了这个是整数，那么组合数就必然是整数。

 

 

\[\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+r)}{r!}k\ge 0\] 这个式子是整数，用通俗的语言来说：就是

n个连续非负整数的积可以被n的阶乘整除。

在证明之前，我们先看一个定理

定理一：

每个≥2的正整数要么是素数，要么是一些素数的乘积。

这个定理很好证明，可以用最小整数公理，也可以用第二数学归纳法。

 

下面我们证明\[\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+r)}{r!}k\ge 0\]是整数。

方法是检查素数的个数。

首先定义一个函数 E(n, p)=e, p是任意素数，e是满足$\mathop{p}^{e}|n!$ 的最大的整数。

 

易知

$E(n,p)=\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{{{p}^{2}}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{{{p}^{3}}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{{{p}^{4}}} \right\rfloor +...$

其中 $\left\lfloor {} \right\rfloor $表示取整函数。

 

\[(k+1)(k+2)(k+3)...(k+r)=\frac{(k+r)!}{k!}\]

对任意的素数p

\[E(k+r,p)-E(k,p)=(\left\lfloor \frac{k+r}{p} \right\rfloor -\left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor )+(\left\lfloor \frac{k+r}{{{p}^{2}}} \right\rfloor -\left\lfloor \frac{k}{{{p}^{2}}} \right\rfloor )+(\left\lfloor \frac{k+r}{{{p}^{3}}} \right\rfloor -\left\lfloor \frac{k}{{{p}^{3}}} \right\rfloor )+(\left\lfloor \frac{k+r}{{{p}^{4}}} \right\rfloor -\left\lfloor \frac{k}{{{p}^{4}}} \right\rfloor )+...\]   \[\left\lfloor \frac{k+r}{p} \right\rfloor =\left\lfloor \frac{k}{p}+\frac{r}{p} \right\rfloor \ge \left\lfloor \frac{k}{p} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{r}{p} \right\rfloor ,\]

这是因为\[\left\lfloor a+b \right\rfloor \ge \left\lfloor a \right\rfloor +\left\lfloor b \right\rfloor \] ，其中a,b为任意实数。证明比较容易，略去。

 

 

因此，

$E(k+r,p)-E(k,p)\ge \left\lfloor \frac{r}{p} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{r}{{{p}^{2}}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{r}{{{p}^{3}}} \right\rfloor +\left\lfloor \frac{r}{{{p}^{4}}} \right\rfloor +...$

即

$E(k+r,p)-E(k,p)\ge E(r,p)$

也就是说，对任意的素数p，$\frac{(k+r)!}{k!}$ 中含有的p的个数均 $\ge $ r!中含有的p的个数。又由定理一知r!| $\frac{(k+r)!}{k!}$。

也就是说\[\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+r)}{r!}k\ge 0\]是整数。

证毕。

 

n个连续非负整数的积可以被n的阶乘整除 应用

 

证明\[\frac{1}{5}\mathop{n}^{5}+\frac{1}{3}\mathop{n}^{3}+\frac{7}{15}n\] 都是整数。