麦香牛肉（dp 、数论）
麦香牛肉（dp 、数论）
麦香牛肉
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB题目描述
农夫约翰的奶牛几乎要武装暴动，因为他们听说麦当劳要推出新产品麦香牛肉。奶牛们要尽力阻止这种产品的上市。他们研究了一种“劣等包装”策略。奶牛们说： “如果麦香牛肉有3块，6块以及10块装这三种，那么想买 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 14, 或17块牛肉的顾客就得不到满足了。劣等的包装，劣等的产品！” 帮助奶牛们。给出N (不同包装的种类数, 1 <= N <= 10)，以及N个正整数 (1 <= i <= 256)表示每种包装中牛肉数量，输出最大的不能买到的牛肉数量。如果任何消费要求都可以被满足或不能满足的牛肉数量没有上界，则输出0。最大的可能值 （如果存在）不超过2,000,000,000。
输入
第1行: N
第2..N+1行: 一个盒子里的牛肉数量。
注意，有多组数据输入
输出
输出题目中要求的单个整数。
样例输入
3 3 6 10
样例输出
17
提示
USACO 2002 Winter Orange
当第一次看到这个题目的时候，一点想法都没有。数据范围那么大，如果一个个的枚举过去，时间上肯定会暴，而且也没有实际意义。题目要求的是最大的不能买到的数量，也就是在题目提供的数据以任何方式组合都不能达到的最大数。我当时在考虑，怎么保证某一个很大数是可以通过题目提供的数据来组合。
我当时想着用一个数组存储提供数据的所有组合，但显然这样做不仅麻烦而且是错误的。
于是，在网上看了别人的说明：这是一道基本的DP题目。
// 如果输入的数据里面有 1 肯定就没有上界了；
// 如果输入的数据的最大公约数不为1，则没有上界；
// 数据最大 不会超过 max*max
有些点到目前还不是很理解，在此记录下来，以后慢慢再进行研究。以下是网上找到的数学证明：
由于数目非常庞大，不能简单进行动态规划，必须先进行数学分析缩小范围。此题进行数学抽象，给定n个正整数{an}，于是有集合S={a1*x1+a2*x2+...+an*xn，xi属于N}，求集合N-S 的属性，以下先从n=2 开始阐述。
引理1：S={a*x + b*y, x,y属于自然数N}，当a、b 互素时，N-S为有限集，其最大值为 a*b-a-b；当a、b不互素时(a,b最大公约数大于1)，则N-S 为无限集
证明：
(1) 当a、b不互素时(a,b最大公约数大于1)，则N-S 为无限集
这个比较好证明，设p=gcd(a,b)，则a*x+b*y必定可以写成 p*z 的形式，由于p>1，则p* z + 1必定不属于S，于是N-S 为无限集
(2) 当a、b互素时，则N-S 为有限集，且最大值为a*b-a-b
首先证明 a*b-a-b 不属于S，使用反证法，
a*b-a-b = a*x + b*y => a*(b-1-x) = b*(1+y)，由于 a、b互素，则有b-1-x>=b，这与定义矛盾，于是有a*b-a-b 必定不属于S
然后证明任何一个数z > a*b-a-b，均能表示为a*x + b*y(x,y属于N)，令z=a*b-a-b+i，因为a、b互素，则i=a*m+b*n(m,n属于整数，不是自然数)，于是z=a*(b-1+m) + b*(n-1)，当m、n均不为负数时，z均可以表示为a*x+b*y的形式，下面证明m、n有一个为负数时的情况。
不失一般性，设i=a*x-b*y(x,y属于N)，我们可以做一个变换，确保y<=a-1，当y>=a时，设y=a*r+s(s<=a-1)，则有i=a*x-b*(a*r+s) =a(x-br)-bs，即i表示为a*x-b*y时，可以确保y<=a-1，此时必有x>=1。
z=a*b-a-b+a*x-b*y = a(x-1) + b(a-1-y)，由于 x>=1，y<=a-1，所以z可以表示，命题得证。
此命题表明S 包含大于等于ab-a-b+1的所有整数
引理2：S={a*x + b*y + c*z, x,y,z属于自然数N}，当a、b、c互素时，N-S为有限集，其最大值不大于MAX(ab,ac,bc)
证明
如果其中有两个元素互素，比如gcd(a,b)=1，则由引理1得到N-S为有限集，其最大值必定不大于ab-a-b，即不大于MAX(ab,ac,bc)
假设任意两个元素均不互素，不失一般性，令ab=MAX(ab,ac,bc)，p=gcd(a,b)，于是有a*x+b*y+c*z=p*(a1*x+b1*y) + c*z，其中p和z互素，a1和b1互素，将a1*x+b1*y看作一个元素，运用引理1得到 N-S 的最大值为pc-p-c，但由于a1*x+b1*y从a1b1-a1-b1之后才开始连续，所以N-S的最大值必定小于pc-p-c+ p(a1b1-a1-b1) < pc + ab/p
只要证明pc + ab/p <ab即可，因为p>=2则ab/p<=ab/2，因为p<=a/2，c<b，则pc<ab/2，于是命题得证。
引理2的证明给我们提供了解决原问题的思路
定理：S={a1*x1+a2*x2+...+an*xn，xi属于N}，当a1i,a2,...,an互素时，N-S的最大值小于MAX(ai) * MAX(ai)
使用数学归纳法证明，n=2,3时已经证明，假设n-1时已经证明，以下证明n时
如果其中有n-1个互素，则问题直接得证，即以下的证明为任意n-1个元素不互素的情况。不失一般性，假设n个数中a1和a2为最大的两个数，设p=gcd(a1,a2,...,an-1)
a1*x1+a2*x2+...+an*xn= p(a’1*x1+...+a’n-1*xn-1) + an*xn
根据归纳假设a’1*x1+...+a’n-1*xn-1至少从a’1a’2开始连续，且运用引理1，可以得到N-S最大值小于p an -p- an +p(a’1 a’2) < p an+ (a1 a2)/2，利用与引理2相同的证明方法可以得到N-S的最大值小于a1a2
根据此定理，可以将原麦香牛块问题的范围限制到256*256之中，再使用动态规划求解就可行了。
原文地址：http://blog.csdn.net/wdq347/article/details/9313699
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; bool a[70919];// 256*256 //a[i]=1表示i是能组合成的数 long long b[305]; int GCD(int a, int b){ if(a % b) return GCD(b, a%b); else return b; } // 最大公约数 int main() { int n; while(cin>>n) { bool ff=0;//标记有没有出现1 int gys; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>b[i]; if(b[i]==1) { ff=1; } } gys=GCD(b[1],b[2]); for(int i=3;i<=n;i++) { gys=GCD(gys,b[i]);//输入数据的最大公约数 } if(ff||(gys!=1))// 如果输入有1 则没有上界 {// 最大公约数>1 , 则没有上界 cout<<0<<endl; continue; } memset(a,0,sizeof(a)); //开始dp sort(b+1,b+1+n);//其实不排序也没有关系 a[0]=1; long long mm=b[n]*b[n]; long long ma=0; long long mi=b[1]; for(long long i=mi;i<=mm;i++) { if(a[i]==1) { continue; } for(long long j=1;j<=n;j++) { if(i>=b[j]) { if(a[i-b[j]]==1) { //cout<<"已知"<<i-b[j]<<"能ok "<<i<<"也ok"<<endl; a[i]=1; ma=max(ma,i); } } } } //倒着找最大的不能组合成的数 bool f=1; long long kk=-1; for(long long i=mm;i>=1;i--) { if(a[i]==0)//有不能组合成的数 { f=0; kk=i; break; } } if(f==0) { cout<<kk<<endl; } else { cout<<0<<endl; } } return 0; }
